椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上有两点-查字典问答网
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  椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上有两点A、B满足OA垂直于OB(O为坐标原点),求证:O到直线AB距离为定值第一问求出来1/OA^2+1/OB^2为定值,为(a^2+b^2)/(a^2b^2)

  椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上有两点A、B满足OA垂直于OB(O为坐标原点),求证:O到直线AB距离为定值

  第一问求出来1/OA^2+1/OB^2为定值,为(a^2+b^2)/(a^2b^2)

1回答
2020-02-10 04:20
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唐旭清

  设A(x1,y1)B(x2,y2)

  根据题意y1/x1*y2/x2=-1

  即x1x2+y1y2=0

  设MN方程:y=kx+m代入椭圆b²x²+a²y²=a²b²

  整理:(a²k²+b²)x²+2kma²x+a²m²-a²b²=0

  韦达定理:x1+x2=-2kma²/(a²k²+b²),x1*x2=(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)

  y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+km(x1+x2)+m²

  x1x2+k²x1x2+km(x1+x2)+m²=0

  (a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)+k²(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)-2k²m²a²/(a²k²+b²)+m²=0

  化简:(a²+b²)m²=a²b²(1+k²)

  m²/(1+k²)=a²b²/(a²+b²)

  |m|/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)

  点O到直线MN的距离d=|m|/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)为定值

  1/OA²+1/OB²=(OA²+OB²)/(OA²*OB²)=AB²/(AB*d)²=1/d²=1/[a²b²/(a²+b²)]

  =(a²+b²)/(a²b²)=1/a²+1/b²

2020-02-10 04:23:00

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