【设A(X1Y1)为椭圆X^2+2Y^2=2上任意一点过A做一条斜率为—X1/2Y1的直线,又设d为直线到原点的距离,R1,R2分别为点A到两焦点的距离,求证根号下R1R2乘以d为定值.】
设A(X1Y1)为椭圆X^2+2Y^2=2上任意一点过A做一条斜率为—X1/2Y1的直线,又设d为直线到原点的距离,R1,R2分别为点A到两焦点的距离,求证根号下R1R2乘以d为定值.
用参数方程做吧;标准形式x^2/2+y^2=1c=1
A(√2cosa,sina)直线斜率-cota/√2
L:-cota/√2(x-√2cosa)=y-sinad^2=(sina+(cosa)^2/sina)^2/(1+(cota)^2/2)
d^2=(1/sina)^2/(1+(cosa)^2/2(sina)^2)=1/2*1/(2(sina)^2+(cosa)^2)=1/2*1/(2-(cosa)^2)
R1^2=(√2cosa+1)^2+(sina)^2;R1^2=(√2cosa-1)^2+(sina)^2
R1^2=(cosa)^2+2+2√2cosa=[cosa+√2]^2
同理R2^2=[cosa+√2]^2
所以R1*R2=2-(cosa)^2
于是R1*R2*d^2=[2-(cosa)^2]*1/2*1/(2-(cosa)^2)=1/2
证毕