【已知椭圆方程X2/4+Y2=1,过点Q(-1,0)的直线L-查字典问答网
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来自陈少民的问题

  【已知椭圆方程X2/4+Y2=1,过点Q(-1,0)的直线L交椭圆于AB两点,交直线X=-4于点E,点Q分AB向量所成比为M,点E分AB向量所成比为N,求证M+N为定值,并计算出该值?是的,我想N是负值吧~】

  已知椭圆方程X2/4+Y2=1,过点Q(-1,0)的直线L交椭圆于AB两点,交直线X=-4于点E,点Q分AB向量所成比为M,点E分AB向量所成比为N,求证M+N为定值,并计算出该值?

  是的,我想N是负值吧~

1回答
2020-02-10 16:27
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商云鹏

  椭圆方程:x²/4+y²=1

  过Q(-1,0)的直线设为y=k(x+1),x=-4时y=-3k,即E(-4,-3k)

  设A(x1,y1),B(x2,y2),又Q(-1,0)E(-4,-3k)

  向量AQ=(-1-x1,-y1),QB=(x2+1,y2),AE=(-4-x1,-3k-y1),EB(x2+4,y2+3k)

  有题给向量关系得向量AQ=mQB,AE=nEB

  向量坐标带入得-y1=my2,-4-x1=n(x2+4)(就要这两个,那两个没有用.)

  变为m=-y1/y2,n=-(x1+4)/(x2+4)

  m+n=-y1/y2-(x1+4)/(x2+4)

  y=k(x+1)带入上式得m+n=-(x1+1)/(x2+1)-(x1+4)/(x2+4)

  =-[2x1x2+5(x1+x2)+8]/(x2+1)(x2+4).①(别管分母呀)

  直线方程带入椭圆方程得(4k²+1)x²+8k²x+4k²-4=0

  x1+x2=-8k²/(4k²+1),x1x2=(4k²-4)/(4k²+1)

  将上面的关系带入①可得,

  m+n=-[2(4k²-4)-40k²+32k²+8]/[(x2+1)(x2+4)(4k²+1)]=0.(别管分母呀)

2020-02-10 16:30:12

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