已知F1(-c,O),F2(c,0)为椭圆x²/a-查字典问答网

来自方跃法的问题

　　已知F1(-c,O),F2(c,0)为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的两个焦点.已知F1(-c,O),F2(c,0)为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点且向量PF1·向量PF2=c²,则此椭圆离心率的

　　已知F1(-c,O),F2(c,0)为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的两个焦点.

　　已知F1(-c,O),F2(c,0)为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点且向量PF1·向量PF2=c²,则此椭圆离心率的取值范围是_____.

1回答

2020-02-10 05:49

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刘丰

　　向量PF1•向量PF2=|PF1|*|PF2|cos∠F1PF2=c²

　　设坐标P(x,y),则向量PF1={-c-x,-y},向量PF2={c-x,-y}；

　　向量PF1•向量PF2=-(c-x)²+y²=c²；

　　∴y²=c²+(c-x)²=2c²-2cx+x²,代入椭圆方程：x²/a²＋[2c²-2cx+x²]/b²=1；

　　将方程通分化简(a²+b²)x²-2a²cx+a²(2c²-b²)=0；

　　当△=(2a²c)²-4(a²+b²)*a²(2c²-b²)≥0时方程有解（即P才存在）,∴a²c²-(2a²-c²)(3c²-a²)≥0；

　　展开并以e=c/a代入：3(e²)²-6e²+2≥0,∴e²≤1－√3/3；

2020-02-10 05:53:41