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  【已知椭圆x2+3y2=4左顶点为A,过定点T(-1,0)作斜率不为零的直线BC交椭圆于点BC,求AB垂直AC,三角形ABC最大面积】

  已知椭圆x2+3y2=4左顶点为A,过定点T(-1,0)作斜率不为零的直线BC交椭圆于点BC,求AB垂直AC,三角形ABC最大面积

1回答
2020-02-10 09:43
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童茂松

  设直线BC的方程为x=my-1,B(x1,y1),C(x2,y2)

  将x=my-1代入x²+3y²=4,得(m²+3)y²-2my-3=0

  则y1+y2=2m/(m²+3),y1y2=-3/(m²+3),

  因为A(-2,0),所以向量AB=(x1+2,y1)=(my1+1,y1),向量AC=(my2+1,y2),

  向量AB*向量AC=(my1+1)(my2+1)+y1y2

  =(m²+1)y1y2+m(y1+y2)+1

  =-3(m²+1)/(m²+3)+2m²/(m²+3)+1=0

  所以AB⊥AC.

  因为|AT|=1

  所以三角形ABC的面积S=(1/2)|AT||y1-y2|=(1/2)|y1-y2|,

  (y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=(16m²+36)/(m²+3)²,

  设t=m²,f(t)=(y1-y2)²=(16t+36)/(t+3)²(t≥0)

  因为f'(t)=-(16t+24)/(t+3)³

2020-02-10 09:45:03

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