已知椭圆C:x^/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的-查字典问答网
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  已知椭圆C:x^/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且经过点(1,3/2),一组斜率为3/2的直线与椭圆C都相较于不同两点A,B1.证明:AB的中点都在同一直线l上2.对于1中的直线l,设l与椭圆C交于两点M

  已知椭圆C:x^/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且经过点(1,3/2),一组斜率为3/2的直线

  与椭圆C都相较于不同两点A,B

  1.证明:AB的中点都在同一直线l上

  2.对于1中的直线l,设l与椭圆C交于两点M,N,试探究椭圆上使三角形MNQ面积为根号3的点Q有几个.证明你的结论

1回答
2020-02-10 17:37
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贺亦成

  由题意知c=1,所以a²=b²+1,椭圆方程为x²/(b²+1)+y²/b²=1,

  将点(1,3/2)代入方程,整理得4b^4-9b²-9=0,即(b²-3)(4b²+3)=0,

  所以b²=3,a²=4,椭圆方程为x²/4+y²/3=1.

  设直线为y=(3/2)x+m,代入椭圆方程得x²/4+(3/2x+m)²/3=1,

  整理得3x²+3mx+m²-3=0,

  设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-m,

  所以y1+y2=3/2x1+m+3/2x2+m=3/2(x1+x2)+2m=1/2m,

  因此AB的中点为(-1/2m,1/4m),即AB的中点都在同一直线l:y=-1/2x上.

  将y=-1/2x代入椭圆x²/4+y²/3=1,得x²=3,x=±√3,

  所以y=±√3/2,即M(√3,-√3/2),N(-√3,√3/2),|MN|=√15,

  因为△MNQ的面积是√3,所以点Q到直线y=-1/2x的距离为2√3/√15=2/√5.

  设平行于直线l:y=-1/2x的直线l'的方程为y=-1/2x+n,

  则l与l'之间的距离应满足|n|/√[(1/2)²+1²]=2/√5,解得n=±1,

  所以l'的方程是y=-1/2x+1或y=-1/2x-1.

  将y=-1/2x+1代入x²/4+y²/3=1整理得x²-x-2=0,解得x=-1或2,

  因此直线y=-1/2x+1与椭圆的交点是Q1(-1,3/2),Q2(2,0).

  同理可得直线y=-1/2x-1与椭圆的交点是Q3(1,-3/2),Q(-2,0).

  故椭圆上使三角形MNQ面积为√3的点Q有四个.

2020-02-10 17:39:12

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