∵e＝c/a＝√6/3,∴c^2/a^2＝6/9＝2/3,∴（a^2－b^2）/a^2＝2/3,∴1－b^2/a^2＝2/3,

　　∴b^2/a^2＝1/3,∴a^2＝3b^2.

　　∴c^2/a^2＝c^2/（3b^2）＝2/3,∴c^2＝2b^2,∴c＝√2b.

　　显然,AB的方程是：y＝x－c.

　　联立：y＝x－c、x^2/a^2＋y^2/b^2＝1,消去y,得：x^2/a^2＋（x－c）^2/b^2＝1,

　　∴x^2/（3b^2）＋（x－c）^2/b^2＝1,

　　∴x^2＋3（x－c）^2＝3b^2,

　　∴x^2＋3x^2－6cx＋3c^2＝3b^2,

　　∴4x^2－6√2x＋6b^2＝3b^2,

　　∴4x^2－6√2x＋3b^2＝0.

　　∵A、B在直线y＝x－c上,∴可分别令A、B的坐标是（m,m－c）、（n,n－c）.

　　很明显,m、n是方程4x^2－6√2x＋3b^2＝0的两根,

　　∴由韦达定理,有：m＋n＝3√2/2、mn＝3b^2/4.

　　依题意,有：｜AB｜＝√3,∴｜AB｜^2＝3,∴（m－n）^2＋［（m－c）－（n－c）］^2＝3,

　　∴2（m－n）^2＝3,∴（m－n）^2＝3/2,∴（m＋n）^2－4mn＝3/2,

　　∴（3√2/2）^2－4（3b^2/4）＝3/2,

　　∴9/2－3b^2＝3/2,

　　∴b^2＝3/2－1/2＝1,

　　∴b＝1.