问题一：根据椭圆的焦距公式：|F1F2|=2c,其中c^2=a^2-b^2

　　具体到本题：已知a^2=1,b^2(0﹤b﹤1)；则可得c^2=1-b^2,即：c=√1-b^2

　　问题二：设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2)

　　则过点A,B的直线L的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)

　　∵本题已经给出“若直线L的斜率为1“这个条件

　　∴(y2-y1)/(x2-x1)=1,即：y2-y1=x2-x1.①

　　根据两点间的距离公式,有：|AB|=√(x2-x1)^2+(y2-y1)^2

　　结合①式,即可得：|AB|=√[(x2-x1)^2+(x2-x1)^2]=√[2(x2-x1)^2]=√2*|x2-x1|

　　由题意可知椭圆焦点F1的坐标是(c,0)

　　又∵直线L过椭圆的焦点F1,且直线L的斜率为1

　　∴设直线L的方程为：y=x+c

　　问题三：将直线L与椭圆方程联立,消去y后,得：(1+b^2)x^2+2cx+1-2b^2=0

　　再根据韦达定理：x1+x2=-2c/(1+b^2),x1x2=(1-2b^2)/(1+b^2)

　　∵由椭圆的定义,可得：|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a

　　∴|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a=4*1=4

　　∵点A,B在直线L上

　　∴|AB|+|AF2|+|BF2|=4.②

　　∵IAF2I,IABI,IBF2I成等差数列

　　∴2|AB|=|AF2|+|BF2|.③

　　将③带入②,得：|AB|=4/3

　　∵|AB|=√[2(x2-x1)^2]（推导过程见问题二）

　　∴4/3=√[2(x2-x1)^2]

　　两边平方：16/9=2*(x2-x1)^2

　　8/9=x2^2-2x1x2+x1^2

　　8/9=(x1+x2)^2-4x1x2

　　8/9=[-2c/(1+b^2)]^2-4*[(1-2b^2)/(1+b^2)]

　　8/9=4c^2/(1+b^2)^2-(4-8b^2)/(1+b^2)

　　8/9=4(1-b^2)/(1+b^2)^2-[(4-8b^2)(1+b^2)]/(1+b^2)^2,（c^2=1-b^2,见问题一）

　　整理后,得：8/9=8b^4/(1+b^2)^2

　　9b^4=1+2b^2+b^4

　　(2b^2-1)(4b^2+1)=0

　　2b^2-1=0或4b^2+1=0（舍）

　　解得：b=√2/2

　　谢谢你路人__黎，你的答案堪称完美，对于像我这样数学基础的人来说，真的是莫大的帮助，这问题我反复问了好几遍，大家的答案多少省了一些中间环节，一直以来我都似懂非懂处于思路断续的状态。今天遇上您是我的福，您是个好人，虽然我不认识您，但身处某个城市的我祝愿您幸福健康，再次道声感谢。