已知椭圆C：x∧2/a∧2+y∧2/b∧2＝1（a＞b＞c）的离心率为√3/2,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1,过点M（3,0）的直线与椭圆C相交于两点A,B（1）求椭圆C的方程（2）设P为椭圆上
已知椭圆C：x∧2/a∧2+y∧2/b∧2＝1（a＞b＞c）的离心率为√3/2,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1,过点M（3,0）的直线与椭圆C相交于两点A,B（1）求椭圆C的方程（2）设P为椭圆上一点,且满足向量OA+向量OB＝t向量OP（O为坐标原点）,当|AB|＜√3时,求实数t的取值范围
解:c=1;点(-1,√2/2)在椭圆上,有1/a^2+1/2b^2=1.1#
又a^2-c^2=b^2带入1#得出a^2=2或者a^2=1/2(舍去,因为椭圆里a>c)
标准方程:x^2/2+y^2=1
椭圆方程为x^2+2y^2=2
设直线l为my+1=x(斜率k=1/m,其实就是y=k(x-1))代入椭圆方程
得到(my+1)^2+2y^2-2=0即(m^2+2)y^2+2my-1=0.1#
设Q坐标(x3,0)A(x1,y1),B(x2,y2)向量QAQB=-7/16等价于x1x2-x3(x1+x2)+x3^2+y1y2=-7/16(2#)恒成立
y1y2=-1/(m^2+2);x1+x2=2+m(y1+y2)=2-2m^2/(m^2+2)=4/(m^2+2)
x1x2=m(y1+y2)+1+y1y2m^2=(-2m^2+m^2+2-m^2)/(m^2+2)=6/(m^2+2)-2
带入2#令N=m^2+2
6/N-x3*4/N+x3^2-1/N=25/16
(1/N)(5-4x3)=25/16-x3^2恒成立
1@当x3=5/4时,左边=0,右边也=0,恒成立!检验当直线平行于X轴时,也成立(想想为什么不是平行于Y轴)
2@当x3≠5/4时候,1/N=5/4-x3右边为常数但左边是变量,不成立
所以存在定点Q(5/4,0)使得命题恒成立