【图6我们把由半椭圆=1(x≥0)与半椭圆=1(x≤0)合成-查字典问答网

来自唐功富的问题

　　【图6我们把由半椭圆=1(x≥0)与半椭圆=1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”其中a2=b2+c2a＞0b＞c＞0.如图6点F0、F1、F2是相应椭圆的焦点A1、A2和B1、B2分别是“果】

　　图6

　　我们把由半椭圆=1(x≥0)与半椭圆=1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”其中a2=b2+c2a＞0b＞c＞0.

　　如图6点F0、F1、F2是相应椭圆的焦点A1、A2和B1、B2分别是“果圆”与x、y轴的交点.〔(文)M是线段A1A2的中点〕

　　(1)(理)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形求“果圆”的方程.

　　(2)(理)当|A1A2|＞|B1B2|时求的取值范围.

　　(文)设P是“果圆”的半椭圆=1(x≤0)上任意一点求证:当|PM|取得最小值时P在点B1、B2或A1处.

　　(3)(理)连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究:是否存在实数k使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在求出所有可能的k值;若不存在请说明理由.

　　(文)若P是“果圆”上任意一点求|PM|取得最小值时点P的横坐标.

1回答

2020-02-10 06:35

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倪桂明

　　(1)(理)∵F0(c0)F1(0)F2(0)

　　∴|F0F2|==b=1|F1F2|==1.

　　于是c2=a2=b2+c2=所求“果圆”方程为x2+y2=1(x≥0)y2+x2=1(x≤0).

　　(2)(理)由题意得a+c＞2b即＞2b-a.

　　∵(2b)2＞b2+c2=a2∴a2-b2＞(2b-a)2得＜.

　　又b2＞c2=a2-b2∴＞.∴∈().

　　(文)设P(xy)则|PM|2=(x)2+y2=(1)x2-(a-c)x++b2-c≤x≤0∵1＜0

　　∴|PM|2的最小值只能在x=0或x=-c处取到即当|PM|取得最小值时P在点B1、B2或A1处.

　　(3)(理)设“果圆”C的方程为=1(x≥0)=1(x≤0).

　　记平行弦的斜率为k.

　　当k=0时直线y=t(-b≤t≤b)与半椭圆=1(x≥0)的交点是P(at)与半椭圆=1(x≤0)的交点是Q(-ct).

　　∴P、Q的中点M(xy)满足得=1.

　　∵a＜2b∴≠0.

　　综上所述当k=0时“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上.

　　当k＞0时以k为斜率过B1的直线l与半椭圆=1(x≥0)的交点是().

　　由此在直线l右侧以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线y=x上即不在某一椭圆上.

　　当k＜0时可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上.

　　(文)∵|A1M|=|MA2|且B1和B2同时位于“果圆”的半椭圆=1(x≥0)和半椭圆=1(x≤0)上∴由(2)知只需研究P位于“果圆”的半椭圆=1(x≥0)上的情形即可.

　　|PM|2=(x)2+y2=[x]2+b2+.

　　当x=≤a即a≤2c时|PM|2的最小值在x=时取到此时P的横坐标是.

　　当x=＞a即a＞2c时?

2020-02-10 06:37:37