已知椭圆离心率为(根号3)/2,其左焦点和左准线分别是抛物线-查字典问答网

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　　已知椭圆离心率为(根号3)/2,其左焦点和左准线分别是抛物线y^2=4x的焦点和准线,过这个焦点的一直线交椭圆于MN两点,若椭圆左顶点为A,则当S三角形AMN最大时,直线MN的倾斜角为?(倾斜角?是斜率

　　已知椭圆离心率为(根号3)/2,其左焦点和左准线分别是抛物线y^2=4x的焦点和准线,过这个焦点的一直线交椭圆于MN两点,若椭圆左顶点为A,则当S三角形AMN最大时,直线MN的倾斜角为?(倾斜角?是斜率么?)(答案是arcsin(根号3)/3或pai-arcsin(根号3)/3)

1回答

2020-02-10 19:13

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乔磊

　　抛物线y^2=4x的焦点是(1,0),准线是x=-1.

　　设P(x,y)是所求椭圆上任意一点,由椭圆第二定义,

　　√[(x-1)^2+y^2]/|x+1|=√3/2,

　　平方得4[(x-1)^2+y^2]=3(x+1)^2,

　　整理得x^2-14x+1+4y^2=0,(x-7)^2+4y^2=48,(x-7)^2/48+y^2/12=1,①

　　中心是(7,0),左顶点A为(7-4√3,0）,

　　设MN:x=my+1,代入①,(my-6)^2+4y^2=48,

　　(m^2+4)y^2-12my-12=0,

　　△=144m^2+48(m^2+4)=192(m^2+1),

　　|MN|=√[△(1+m^2)]/(m^2+4),A到MN的距离h=(4√3-6)/√(m^2+1),

　　∴S△AMN=(1/2)|MN|h=8√3(2√3-3)√(m^2+1)/(m^2+4),

　　设u=√(m^2+1)>=1,则S=8√3(2√3-3)u/(u^2+3)

2020-02-10 19:18:46