二维形式的证明(a^2+b^2)(c^2+d^2)　(a,b,c,d∈R)

　　=a^2·c^2+b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2

　　=a^2·c^2+2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2

　　=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2

　　≥(ac+bd)^2,等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立.

　　三角形式的证明√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]

　　证明：[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2·√(a^2+b^2)·√(c^2+d^2)

　　≥a^2+b^2+c^2+d^2+2|ac+bd|

　　≥a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+bd)

　　=a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2

　　=(a+c)^2+(b+d)^2

　　两边开根号即得√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]

　　注：||表示绝对值.

　　向量形式的证明令m=(a1,a2,…,an),n=(b1,b2,…,bn)

　　m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1+a2+…+an)×√(b1+b2+…+bn)×cos

　　∵cos≤1

　　∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an)×√(b1+b2+…+bn)

　　注：“√”表示平方根.

　　一般形式的证明(∑(ai^2))(∑(bi^2))≥(∑ai·bi)^2

　　证明：

　　等式左边=(ai·bj+aj·bi)+.共n2/2项

　　等式右边=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+.共n2/2项

　　用均值不等式容易证明等式左边≥等式右边得证

　　推广形式的证明

　　推广形式为(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n(*)

　　证明如下

　　记A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….

　　由平均值不等式得　

　　(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

　　(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

　　……　

　　上述m个不等式叠加得　

　　1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…　

　　即(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…　

　　即A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n　

　　即(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n　

　　因此,不等式(*)成立.

　　（注：推广形式即为卡尔松不等式）