柯西不等式的证明过程,-查字典问答网
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  柯西不等式的证明过程,

  柯西不等式的证明过程,

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2020-02-11 21:10
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方立恭

  二维形式的证明(a^2+b^2)(c^2+d^2) (a,b,c,d∈R)

  =a^2·c^2+b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2

  =a^2·c^2+2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2

  =(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

  ≥(ac+bd)^2,等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立.

  三角形式的证明√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]

  证明:[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2·√(a^2+b^2)·√(c^2+d^2)

  ≥a^2+b^2+c^2+d^2+2|ac+bd|

  ≥a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+bd)

  =a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2

  =(a+c)^2+(b+d)^2

  两边开根号即得√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]

  注:||表示绝对值.

  向量形式的证明令m=(a1,a2,…,an),n=(b1,b2,…,bn)

  m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1+a2+…+an)×√(b1+b2+…+bn)×cos

  ∵cos≤1

  ∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an)×√(b1+b2+…+bn)

  注:“√”表示平方根.

  一般形式的证明(∑(ai^2))(∑(bi^2))≥(∑ai·bi)^2

  证明:

  等式左边=(ai·bj+aj·bi)+.共n2/2项

  等式右边=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+.共n2/2项

  用均值不等式容易证明等式左边≥等式右边得证

  推广形式的证明

  推广形式为(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n(*)

  证明如下

  记A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….

  由平均值不等式得 

  (1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

  (1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

  …… 

  上述m个不等式叠加得 

  1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+… 

  即(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+… 

  即A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n 

  即(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n 

  因此,不等式(*)成立.

  (注:推广形式即为卡尔松不等式)

2020-02-11 21:12:55

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