均值不等式就是几个平均值之间的不等关系,其中它的核心是几何——算术平均不等式,这个最常用,因此题目都是围绕着这个不等式出的.均值不等式另外两个（分别是调和——几何平均不等式和算术——平方平均不等式）都可以由几何——算术平均不等式推出,可见它十分重要.几何——算术平均不等式,就是任意n个正数乘积再开n次根号永远小于等于它们的算术平均值,常用的是n=2和n=3的情况,另外其它情况也要看情况应用.前面说了这么多,下面进入正题,均值不等式的核心思想是：拼凑,题目一般会给出需要比较的两个式子,我们的任务就是将一个变成另外一个,手段就是把乘积变成和,把和变成乘积,即均值不等式.与其同等重要的是不等式应用条件和取等条件,这是不可忽视的一环,有时这可以决定均值不等式解题的成败.下面就是例题了.例1：已知a,b,c都是正数,求证a+b+c≥3倍(3次根号下abc)（这其实是几何——算术平均不等式n=3的情况,下面我们利用n=2的不等式去证明,即利用(a+b)/2≥根号ab）目标是凑出abc乘积项,但是我们只能把两个数的和变成他们的乘积,而等式左边是三个数的和,因此缺少一些东西.我们采取填项的方法,又不能引入其他形式的式子,因此我们在左边的式子加3次根号下abc这样我们就需要证明a+b+c+(3次根号abc)≥4倍(3次根号下abc)这样,a+b≥2倍根号ab,c+(3次根号abc)≥2倍根号下(3次根号abc^4)这样4项变成两项,再用一次不等式,就得到结论.千万别忘了验证等号取等条件,a=b=c,在三次使用的时候都没有问题.例2：x>0,求x^2+2/x的最小值.这也是一个典型问题,因为求最小值,还是要放缩出定值出来,想如果把它们变成乘积的形式,恰好造成约分,那么最小值也就出来了,但是他们的次数之和不是0,因此我们要改造一下.x^2+2/x=x^2+1/x+1/x≥3倍(3次根号下x^2*(1/x)*(1/x))=3因此它的最小值是3,等号取到条件是x^2=1/x,即x=1这个拆项方法很常用,特别是求最大最小值的时候.思考题1：00,求最小值(根号2)a^3+4/(b(a-b))例3：a+b=1,a和b均是正数,求证1/a+1/b≥4这个题有多种解法,可以将1/a+1/b通分,但这里介绍一个更常用的解法.注意到a+b=1,而1乘以任何数等于它的本身所以1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)=2+a/b+b/a≥2+2倍根号下(a/b*b/a)=4这种办法也称为贴“1”法.例4：a和b同号（即ab>0）,求a/(a+b)+b/(2a+b)的最小值.分析：只需要凑出定值即可,但是直接将这两个式子乘起来并不能得到定值.采取添项的方法.a/(a+b)+b/(2a+b)=a/(a+b)+1+b/(2a+b)+1-2=2a+b/(a+b)+2(a+b)/(2a+b)-2≥2倍根号2-2高中均值不等式不是考试重点,因此没有必要学得太深,更没必要怕它.考试中,均值不等式主要用来求最值或者放缩,目的是为了减小计算量,很少单独出证明题（除非是选修4-5）,没必要太紧张.作为回答的结束,补充两个思考题吧.思考题3：设b>0,求b^3/(b+1)^4的最大值.思考题4：请找出下面做法的错误,并给出正确做法.题目：0