数列综合

　　数列作为特殊的函数,在很多问题上的解决方法都与函数相似.比如,在分析数列性质时,往往都要从数列中每一项的下标分析入手,这一点,与解决函数问题时要从对自变量的分析入手一样.函数与方程及不等式有着密切的联系,所以,数列问题又可与方程和不等式相结合.因此,在解决数列问题时,要注意重在方法上与函数、方程、不等式相类比,同时也充分关注到数列本身的一些特殊性质.

　　1．已知是关于的一次函数,是关于的二次函数,的图象是开口向下,对称轴为的抛物线,数列满足,而恰为数列的前项和.

　　（1）证明为等差数列,说明首项a1与公差d的符号；

　　（2）求出满足的最大正整数,判断此时与的大小,并说明理由；

　　（3）当a1=21时,求出与的解析式.

　　分析：本题考查等差数列的定义,通项公式,前项和公式的应用,综合考查数列与函数的综合.

　　解析：

　　（1）设,

　　∴,

　　∴（常数）

　　∴是公差为k的等差数列.

　　∴

　　∴,

　　又的图象开口向下,且对称轴为

　　∴的公差d=k＜0且

　　∴

　　∴

　　（2）

　　令

　　∴,∴

　　∵n∈N*,∴满足的最大正整数n=6.

　　∴

　　∴

　　,∴

　　（3）,∴k=－4,b=25,

　　∴,

　　反思：对于第（2）问,可以结合二次函数性质及等差数列性质,

　　法二：∵开口向下,对称轴且由等数列前n项和公式可知

　　∴图象与x轴交点横坐标为.

　　∴S11=11a6＞0,S12=6(a6+a1)＜0

　　∴a6＞0,a7＜0

　　∴a1＞a2＞a3＞…＞a6＞0＞a7＞a8＞…

　　2．已知点是函数（a＞0且a≠1）的图象上的一点,等比数列的前n项和为,数列（）的首项为c,且前n项和满足.

　　（1）求数列和的通项公式；

　　（2）若数列前n项和为,问的最小正整数n是多少?

　　分析：本题考查数列知识的综合运用,与的关系,以及特殊数列求和及不等式的相关知识,解题过程中注重化归为基本问题.

　　解析：

　　（1）∵,∴

　　∴,

　　∵是等比数列,∴

　　∴c=1且公比

　　∴,

　　∵

　　,∴且b1=S1=1

　　∴是首项为1公差为1的等差数列

　　∴（）,

　　∴当n≥2时

　　当n=1时b1=1=2×1－1

　　综上,（）

　　（2）

　　∴

　　由得

　　∴满足的最小正整数n=112.

　　3．等比数列的前n项和为,已知对任意的n∈N+,点均在函数（b＞0且b≠1,b,r均为常数）的图像上.

　　（1）求r的值；

　　（2）当b=2时,记（n∈N+）,求数列的前n项和.

　　分析：本题考查与的关系,即由求,以及特殊数列求和.

　　解析：

　　（1）由已知

　　∴a1=S1=b+r,a2=S2－S1=b2－b,a3=S3－S2=b3－b2

　　∵是等比数列,∴

　　∴(b2―b)2=(b+r)(b3―b2),化简得(1+r)(b－1)·b2=0

　　∵b＞0且b≠1,∴1+r=0,r=－1

　　（2）由（1）知

　　∴a1=S1=1,

　　∴,

　　∴①

　　②

　　①－②：

　　∴

　　反思：错位相减求和时注意运算.

　　4．曲线C：y=(x+a)3（a≠0）,以P0（0,a3）为切点,作曲线C的切线交x轴于Q1,过Q1作x轴的垂线交曲线C于P1（x1,y1）；以P1（x1,y1）为切点作曲线C的切线交x轴于Q2,过Q2作x轴的垂线交曲线C于P2（x2,y2）；如此继续下去,得到点列

　　（1）求与的关系（n≥2）；

　　（2）求,的通项公式.

　　分析：本题考查导数,数列的相关知识的综合运用.

　　解析：

　　（1）

　　∴过点的切线方程

　　其中

　　令y=0,∴

　　若存在n0使,则当n0=0时,与已知矛盾!

　　∴,

　　∴,∴

　　∴

　　（2）且,

　　∴是首项为,公比为的等比数列

　　∴,∴

　　反思：注意题目中出现了形如的递推关系,可利用如下待定系数法求通项公式.

　　令,∴

　　∴,

　　∴

　　∴在时数列即为公比是p的等比数列.

　　5．已知曲线（n=1,2,…）.从点P（－1,0）向曲线引斜率为的切线,切点为.

　　（1）求数列与的通项公式；

　　（2）证明：.

　　分析：本题综合考查圆、函数、数列相关知识,包括圆的切线,不等式放缩,函数单调性,求函数最值等,注意化归,同时关注几何图形及方法应用.

　　解析：

　　（1）圆,圆心,半径

　　∴,

　　∴,即

　　由得

　　∴,即

　　（2）,

　　∴

　　∴

　　∴

　　又,

　　令,∴

　　令得

　　对给定区间有,∴在单调递减

　　∴,即

　　而当n≥1时2n+1≥3,∴

　　∴即.

　　反思：本题（1）问充分关注了几何图形特征,利用平面几何知识求解,计算量小,第（2）问综合了数列单调性与函数单调性问题,注意方法的比较.

　　课后练习

　　1．已知函数,M（x1,y1）,N（x2,y2）是图象上的两点,横坐标为的点P满足（O为坐标原点）.

　　（Ⅰ）求证：y1+y2为定值；

　　（Ⅱ）若,其中n∈N*,且n≥2,求；

　　（Ⅲ）已知,其中n∈N*,为数列的前n项和,

　　若对一切n∈N*都成立,试