对于函数y=f（x）,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f（x+T）=f（x）都成立,那么就把函数y=f（x）叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期.事实上,任何一个常数kT（k∈Z且k≠0）都是它的周期.

　　严格定义

　　设f(x）是定义在数集M上的函数,如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x）；

　　则称f（x）是数集M上的周期函数,常数T称为f（x）的一个周期.如果在所有正周期中有一个最小的,则称它是函数f（x）的最小正周期.

　　由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数,且周期函数不一定有最小正周期.

　　周期函数的性质[1]共分以下几个类型：

　　（1）若T（≠0）是f(X）的周期,则-T也是f(X）的周期.

　　（2）若T（≠0）是f(X）的周期,则nT（n为任意非零整数）也是f(X）的周期.

　　（3）若T1与T2都是f(X）的周期,则T1±T2也是f(X）的周期.

　　（4）若f(X）有最小正周期T*,那么f(X）的任何正周期T一定是T*的正整数倍.

　　（5）若T1、T2是f(X）的两个周期,且T1/T2不是无理数,则f(X）存在最小正周期

　　（6）若T1、T2是f(X）的两个周期,且T1/T2是无理数,则f(X）不存在最小正周期.

　　（7）周期函数f(X）的定义域M必定是至少一方无界的集合.

　　判定定理

　　周期函数定理,总结一共分一下几个类型.

　　定理1

　　若f(X）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数,则Kf(X)+C（K≠0）和1/f(X）分别是集M和集{X/f(X)≠0,X∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数.[2]

　　证：

　　∵T*是f(X）的周期,∴对有X±T*且f(X+T*)=f(X）,∴Kf(X)+C=Kf(X+T*)+C,

　　∴Kf(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数.

　　假设T*不是Kf(X)+C的最小正周期,则必存在T’（0

　　证明：

　　f(x)是偶函数，所以f(x)=f(-x)。f(x)关于直线x=a对称，所以f(x)=f(2a-x)。

　　故f(x+2a)=f(-x+2a)=f(x)。因此，f(x)是周期为2a的周期函数。

　　证明很清楚了，利用了偶函数的性质，以及关于直线x=a对称的推导