设正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，Sn-查字典问答网

来自金澔的问题

　　设正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整数m，使得不

　　设正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中项．

　　（1）求数列{an}的通项公式；

　　（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整数m，使得不等式Sn-1005＞a2n2对一切满足n＞m的正整数n都成立？若存在，则这样的正整数m共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m的值；若不存在，请说明理由；

　　（3）请构造一个与数列{Sn}有关的数列{un}，使得limn→∞(u1+u2+…+un)存在，并求出这个极限值．

1回答

2020-02-13 19:40

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谈黎

　　（1）由题意得，2Sn=an2+an①，

　　当n=1时，2a1=a12+a1，解得a1=1，…（1分）

　　当n≥2时，有2Sn-1=an-12+an-1②，

　　①式减去②式得，2an=an2-an-12+an-an-1

　　于是，an2-an-12=an+an-1，（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1，…（2分）

　　因为an+an-1＞0，所以an-an-1=1，

　　所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，…（3分）

　　所以{an}的通项公式为an=n（n∈N*）．…（4分）

　　（2）设存在满足条件的正整数m，

　　则n(n+1)2-1005＞n

2020-02-13 19:42:46