a、b、c都为正数,且都不为1,求log_a(b)+2log_b(c)+4log_c(a)的最小值.

　　log_x(y)=lg(y)/lg(x)（换底公式,lg为常用对数）

　　设p=lga,q=lgb,r=lgc,则p、q、r∈R{0}.

　　L=log_a(b)+2log_b(c)+4log_c(a)

　　=lgb/lga+2lgc/lgb+4lga/lgc

　　=q/p+2r/q+4p/r

　　设u=q/p,v=r/q,则v/u=p/r,则u、v∈R.

　　L=u+2v+4v/u,

　　显然L没有最小值,L可以取遍所有实数.

　　如果把a、b、c的范围限制为大于1的实数,那么

　　L=q/p+2r/q+4p/r

　　≥3*√(q/p*2r/q*4p/r)

　　=3*2

　　=6,

　　等号当且仅当q/p=2r/q=4p/r,即q=r=2p时等号成立,此时b=c=a^2.

　　在a、b、c>1的情况下,

　　当b=c=a^2时,L取得最小值6.