高一数学题—函数的有关概念.已知定义域为R的函数f(x)满足-查字典问答网
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  高一数学题—函数的有关概念.已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)-x²+x]=f(x)-x²+x.(Ⅱ)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析表达式.解(Ⅱ)因为对任意xεR,有f[f(x)-x²+x]

  高一数学题—函数的有关概念.

  已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)-x²+x]=f(x)-x²+x.

  (Ⅱ)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析表达式.

  解(Ⅱ)因为对任意xεR,有f[f(x)-x²+x]=f(x)-x²+x.

  又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0.

  所以对任意x∈R,有f(x)-x²+x=x0.

  在上式中令x=x0,有f(x0)-x0²+x0=x0,

  又因为f(x0)-x0,所以x0-x0²=0,故x0=0或x0=1.

  若x0=0,则f(x)-x²+x=0,即

  f(x)=x²-x.

  但方程x²–x=x有两个不同实根,与题设条件矛质,故x2≠0.

  若x0=1,则有f(x)-x²+x=1,即f(x)=x^2–x+1.易验证该函数满足题设条件.

  综上,所求函数为

  f(x)=x²–x+1(x∈R).

  请问为什么“又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0.”

  就有“所以对任意x∈R,有f(x)-x²+x=x0.”

  如何理解.请详细说明.

1回答
2020-02-13 15:59
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吕岩

  f(x)-x²+x这个式子从理论上讲应该是个变数

  那么由于f[f(x)-x²+x]=f(x)-x²+x

  就有f(变数)=变数

  而原题说有且只有一个数x0,使得f(x0)=x0

  所以说f(x)-x²+x并不是一个变数,它只能是那个特殊的x0

  所以“对任意x∈R,有f(x)-x²+x=x0.”

2020-02-13 16:03:37

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