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  欧拉公式

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1回答
2020-02-14 01:05
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蔡国永

  分式里的欧拉公式

  a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)

  当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1

  当r=3时值为a+b+c

  e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.

  e^ix=cosx+isinx的证明:

  因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……

  cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……

  sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……

  在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1,(±i)^3=〒i,(±i)^4=1……(注意:其中”〒”表示”减加”)

  e^±ix=1±x/1!-x^2/2!+x^3/3!〒x^4/4!……

  =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)

  所以e^±ix=cosx±isinx

  将公式里的x换成-x,得到:

  e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到:sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式.将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到:

  e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式

  三角形中的欧拉公式

  设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则:d^2=R^2-2Rr

  拓扑学里的欧拉公式

  V+F-E=X(P),V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数.

  如果P可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上),那么X(P)=2,如果P同胚于一个接有h个环柄的球面,那么X(P)=2-2h.

  X(P)叫做P的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量,是拓扑学研究的范围.

  在多面体中的运用:

  简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系

  V+F-E=2

  这个公式叫欧拉公式

  初等数论里的欧拉公式

  欧拉φ函数:φ(n)是所有小于n的正整数里,和n互素的整数的个数.n是一个正整数.

  欧拉证明了下面这个式子:

  如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am,其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数,而且两两不等.则有

  φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

  利用容斥原理可以证明它.

  此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名.

  (6)立体图形里的欧拉公式:

  面数+顶点数—2=棱数

2020-02-14 01:08:36

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