在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定.研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用.确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环.对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用.本文就函数值域求法归纳如下,供参考.

　　1.直接观察法

　　对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到.

　　例1.求函数的值域.

　　∵

　　∴

　　显然函数的值域是：

　　例2.求函数的值域.

　　∵

　　故函数的值域是：

　　2.配方法

　　配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.

　　例3.求函数的值域.

　　将函数配方得：

　　∵

　　由二次函数的性质可知：当x=1时,,当时,

　　故函数的值域是：[4,8]

　　3.判别式法

　　例4.求函数的值域.

　　原函数化为关于x的一元二次方程

　　（1）当时,

　　解得：

　　（2）当y=1时,,而

　　故函数的值域为

　　例5.求函数的值域.

　　两边平方整理得：（1）

　　∵

　　∴

　　解得：

　　但此时的函数的定义域由,得

　　由,仅保证关于x的方程：在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程（1）有实根,由求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为.

　　可以采取如下方法进一步确定原函数的值域.

　　∵

　　代入方程（1）

　　解得：

　　即当时,

　　原函数的值域为：

　　注：由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除.

　　4.反函数法

　　直接求函数的值域困难时,可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域.

　　例6.求函数值域.

　　由原函数式可得：

　　则其反函数为：,其定义域为：

　　故所求函数的值域为：

　　5.函数有界性法

　　直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域.

　　例7.求函数的值域.

　　由原函数式可得：

　　∵

　　∴

　　解得：

　　故所求函数的值域为

　　例8.求函数的值域.

　　由原函数式可得：,可化为：

　　即

　　∵

　　∴

　　即

　　解得：

　　故函数的值域为

　　6.函数单调性法

　　例9.求函数的值域.

　　令

　　则在[2,10]上都是增函数

　　所以在[2,10]上是增函数

　　当x=2时,

　　当x=10时,

　　故所求函数的值域为：

　　例10.求函数的值域.

　　原函数可化为：

　　令,显然在上为无上界的增函数

　　所以,在上也为无上界的增函数

　　所以当x=1时,有最小值,原函数有最大值

　　显然,故原函数的值域为

　　7.换元法

　　通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用.

　　例11.求函数的值域.

　　令,

　　则

　　∵

　　又,由二次函数的性质可知

　　当时,

　　当时,

　　故函数的值域为

　　例12.求函数的值域.

　　因

　　即

　　故可令

　　∴

　　∵

　　故所求函数的值域为

　　例13.求函数的值域.

　　原函数可变形为：

　　可令,则有

　　当时,

　　当时,

　　而此时有意义.

　　故所求函数的值域为

　　例14.求函数,的值域.

　　令,则

　　由

　　且

　　可得：

　　∴当时,,当时,

　　故所求函数的值域为.

　　例15.求函数的值域.

　　由,可得

　　故可令

　　∵

　　当时,

　　当时,

　　故所求函数的值域为：

　　8.数形结合法

　　其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目.

　　例16.求函数的值域.

　　原函数可化简得：

　　上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2）,间的距离之和.

　　由上图可知,当点P在线段AB上时,

　　当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,

　　故所求函数的值域为：

　　例17.求函数的值域.

　　原函数可变形为：

　　上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和,

　　由图可知当点P为线段与x轴的交点时,,

　　故所求函数的值域为

　　例18.求函数的值域.

　　将函数变形为：

　　上式可看成定点A（3,2）到点P（x,0）的距离与定点到点的距离之差.

　　即：

　　由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点,则构成,根据三角形两边之差小于第三边,有

　　即：

　　（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有

　　综上所述,可知函数的值域为：

　　注：由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B两点在x轴的