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【求函数值域的求法求高一能理解的几种函数值域的求法每到题给一个例题】
求函数值域的求法
求高一能理解的几种函数值域的求法每到题给一个例题
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2020-02-14 01:37
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冉龙波
在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定.研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用.确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环.对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用.本文就函数值域求法归纳如下,供参考.
1.直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到.
例1.求函数的值域.
∵
∴
显然函数的值域是：
例2.求函数的值域.
∵
故函数的值域是：
2.配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.
例3.求函数的值域.
将函数配方得：
∵
由二次函数的性质可知：当x=1时,,当时,
故函数的值域是：[4,8]
3.判别式法
例4.求函数的值域.
原函数化为关于x的一元二次方程
（1）当时,
解得：
（2）当y=1时,,而
故函数的值域为
例5.求函数的值域.
两边平方整理得：（1）
∵
∴
解得：
但此时的函数的定义域由,得
由,仅保证关于x的方程：在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程（1）有实根,由求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为.
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域.
∵
代入方程（1）
解得：
即当时,
原函数的值域为：
注：由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除.
4.反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域.
例6.求函数值域.
由原函数式可得：
则其反函数为：,其定义域为：
故所求函数的值域为：
5.函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域.
例7.求函数的值域.
由原函数式可得：
∵
∴
解得：
故所求函数的值域为
例8.求函数的值域.
由原函数式可得：,可化为：
即
∵
∴
即
解得：
故函数的值域为
6.函数单调性法
例9.求函数的值域.
令
则在[2,10]上都是增函数
所以在[2,10]上是增函数
当x=2时,
当x=10时,
故所求函数的值域为：
例10.求函数的值域.
原函数可化为：
令,显然在上为无上界的增函数
所以,在上也为无上界的增函数
所以当x=1时,有最小值,原函数有最大值
显然,故原函数的值域为
7.换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用.
例11.求函数的值域.
令,
则
∵
又,由二次函数的性质可知
当时,
当时,
故函数的值域为
例12.求函数的值域.
因
即
故可令
∴
∵
故所求函数的值域为
例13.求函数的值域.
原函数可变形为：
可令,则有
当时,
当时,
而此时有意义.
故所求函数的值域为
例14.求函数,的值域.
令,则
由
且
可得：
∴当时,,当时,
故所求函数的值域为.
例15.求函数的值域.
由,可得
故可令
∵
当时,
当时,
故所求函数的值域为：
8.数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目.
例16.求函数的值域.
原函数可化简得：
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2）,间的距离之和.
由上图可知,当点P在线段AB上时,
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
故所求函数的值域为：
例17.求函数的值域.
原函数可变形为：
上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和,
由图可知当点P为线段与x轴的交点时,,
故所求函数的值域为
例18.求函数的值域.
将函数变形为：
上式可看成定点A（3,2）到点P（x,0）的距离与定点到点的距离之差.
即：
由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点,则构成,根据三角形两边之差小于第三边,有
即：
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有
综上所述,可知函数的值域为：
注：由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B两点在x轴的
2020-02-14 01:38:50