将函数y=e^x、y=sinx、y=cosx用幂级数展开,有

　　e^x=exp(x)＝1＋x/1!＋x^2/2!＋x^3/3!＋x^4/4!＋…＋x^n/n!＋…

　　sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+……

　　cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+……

　　将式中的x换为ix,得到式；

　　将i*+式得到式.比较两式,知与恒等.

　　于是我们导出了e^ix=cosx+isinx,

　　将公式里的x换成-x,得到：

　　e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到：

　　sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.

　　tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

　　此时三角函数定义域已推广至整个复数集.

　　P.S.

　　幂级数

　　c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)

　　c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)

　　它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数,这种级数称为幂级数.

　　泰勒展开式(幂级数展开法):

　　f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...

　　实用幂级数：

　　ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...

　　ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(|x|