【对线性代数一个定理5的困惑,在书上“线性相关性的判别定理”一节中有如下两个定理：定理3：若向量组a1,a2,a3,…..,ar线性相关,则a1,a2,a3,…..,ar,ar+1,…..,am也线性相关.这个没问题,我能理解】

　　对线性代数一个定理5的困惑,

　　在书上“线性相关性的判别定理”一节中有如下两个定理：

　　定理3：

　　若向量组a1,a2,a3,…..,ar线性相关,则a1,a2,a3,…..,ar,ar+1,…..,am也线性相关.

　　这个没问题,我能理解.

　　关键是下面这个定理5,我怎么都感觉有问题,我错在什么地方.

　　定理5：

　　设有两个向量组

　　A：aj=(a1j,a2j,….,arj)’,j=1,2,….,m;

　　B：bj=(a1j,a2j,….,arj,ar+1,j)’,j=1,2,….,m;

　　即bj是由aj加上一个分量而得.若向量组A线性无关,则向量组B也线性无关.

　　感觉不对啊?

　　因为B是A的扩展,根据前面的定理3,A如果线性相关,则B必线性相关.而定理5感觉是他的否命题,否命题不一定是正确的,只有逆否命题才与原命题是等价的.定理3的逆否定理应该是若B线性无关,则A也线性无关.这个才是正确的.

　　书上对定理5的证明如下（我看不懂,而且感觉证明过程存在问题）：

　　证：记A=(a1,a2,…,am),B=(b1,b2,…,bm).

　　由于方程组Bx=0的前r个方程即是Ax=0的r个方程,故方程组Bx=0的解一定是Ax=0的解.（这里说B的解是A的解我认同）

　　因为向量组A线性无关,所以Ax=0只有零解,从而Bx=0也只有零解,因此向量组B线性无关.（证毕）

　　证明中的最后一句话我不认同,因为B是A的扩展,说B的解是也是A的解,可以理解,但倒过来就不行,因为A的范围小,它的解不一定是B

　　我觉得证明中最后一句话应该倒过来说：

　　因为向量组B线性无关,所以Bx=0只有零解,从而Ax=0也只有零解,因此向量组A线性无关.实际上,这样说的话,就是定理3的逆否定理,也就正确了.

　　谁能帮我看一下,定理5要怎样理解?我错在哪里?书上的定理总不可能出错吧?