楼主是我的知己!我前几天正好证明了这个问题,晚上回来看答案咯!

　　首先,请楼主在草稿纸上面画出XOY坐标,然后在上面随意画一个曲线围成的封闭区域,我们把它叫做区域D

　　假设这个封闭区域的面积是S(D),边长为L(D)

　　现在我们要证明定理1:

　　如果用平行于X轴和Y轴的等距平行线将坐标系进行划分,那么当这个划分达到无限细时,落在D内部的小正方形面积的极限就是区域D的面积.(用脑袋想象以下哦,实际上这也是求2重积分时我们能用dxdy近似的表示积分区域的原因)

　　楼主的定理可以看作是定理1的一个特例,在证明定理1之前,我们首先证明定理1能够推出楼主所求

　　证的定理.

　　定理0:(楼主的定理)

　　设连续函数在定义域为[x0,x1]内,我们把曲线y=f(x),x=x0,x=x1,以及x轴围成的闭区域称为D,令其面积S(D),用平行于y轴等距平行线划分该区域,所得的所有小矩形的和记为∑si,当平行线的距离无限小时,必有lim∑si=S(D).

　　如果已经得到定理1,那么我们可以这样划分正方形:在定理0中的小矩形划分完成后,就根据这个划分的宽度,我

　　们保留这些平行线,在作出与x平行的等距划分,这样,小正方形的边长和小矩形的宽度相等,并且任何一个小正方

　　形都在小矩形内部.显然能看出,小矩形的面积和∑Si>=正方形的面积和∑Sz,也就是∑Sza

　　.+ln>a

　　l(n-1)+l(n)+l1+l2>a

　　ln+l1+l2+l3>a

　　注意每个li出现了4次

　　所有的左边和右边相加,得:

　　4L(D)>n*a(1)

　　对于固定的闭区域,其边长L可以看作常数,因此有

　　n=4m1(因为原来在边界上的有可能被划进来了,所以m个数只会增加)

　　n2