若曲线y=f(x)=x³-3ax²-3a-查字典问答网
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来自李巨川的问题

  若曲线y=f(x)=x³-3ax²-3a²+a(a大于0)上有两点A(m,f(m))B(n,f(n))处的切线都与y轴垂直,且函数y=f(x)在区间[m,n]上存在零点、求a的范围我只找到了因为切线垂直于Y轴,则导数值在这两点应该

  若曲线y=f(x)=x³-3ax²-3a²+a(a大于0)上有两点A(m,f(m))B(n,f(n))处的切线都与y轴垂直,且函数y=f(x)在区间[m,n]上存在零点、求a的范围

  我只找到了因为切线垂直于Y轴,则导数值在这两点应该为0.

  即3m²-6am=0和3n²-6an=0

  然后因为有零点所以f(m)·f(n)≤0

  还能发掘出什么条件啊

1回答
2020-02-16 16:26
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沈兰生

  有两处的切线都与y轴垂直,就意味着函数有两个点的导数是零

  f'(x)=3x²-6ax=0,这个函数有两个根,x=0,和x=2a

  函数y=f(x)在区间[m,n]上存在零点,意味着这个函数在x=m和x=n处异号

  也就是f(0)f(2a)≤0

  f(0)=-3a²+a

  f(2a)=8a³-12a³-3a²+a=-4a³-3a²+a

  f(0)f(2a)=(-3a²+a)(-4a³-3a²+a)=a²(3a-1)(4a²+3a-1)

  =a²(4a-1)(a+1)(3a-1)≤0

  得这个不等式共有a=-1,a=0,a=0,a=1/4,a=1/3

  由穿根法,可知这个不等式的解集是(负无穷,-1)∪[1/4,1/3]

  又因为a>0,所以a的范围是[1/4,1/3]

2020-02-16 16:30:33

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