【求正态分布的数学期望和方差的推导过程注意,是正态分布,不是-查字典问答网
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  【求正态分布的数学期望和方差的推导过程注意,是正态分布,不是标准正态分布.好像需要二重积分,我怎么也做不对,】

  求正态分布的数学期望和方差的推导过程

  注意,是正态分布,不是标准正态分布.

  好像需要二重积分,我怎么也做不对,

1回答
2020-02-18 06:41
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付家伦

  不用二重积分的,可以有简单的办法的.

  设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]

  其实就是均值是u,方差是t^2,百度不太好打公式,你将就看一下.

  于是:

  ∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.(*)

  积分区域是从负无穷到正无穷,下面出现的积分也都是这个区域,所以略去不写了.

  (1)求均值

  对(*)式两边对u求导:

  ∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0

  约去常数,再两边同乘以1/(√2π)t得:

  ∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0

  把(u-x)拆开,再移项:

  ∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

  也就是

  ∫x*f(x)dx=u*1=u

  这样就正好凑出了均值的定义式,证明了均值就是u.

  (2)方差

  过程和求均值是差不多的,我就稍微略写一点了.

  对(*)式两边对t求导:

  ∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

  移项:

  ∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2

  也就是

  ∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2

  正好凑出了方差的定义式,从而结论得证.

2020-02-18 06:42:37

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