设角F1F2P=αF2F1P=βF1PF2=θ则有离心率e=sin(α+β)/sinα+sinβ焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2)

　　证明方法一：

　　设F1P=cF2P=b2a=c+b由射影定理得2c=ccosβ+bcosαe=c/a=2c/2a=ccosβ+bcosα/c+b由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/sinβ+sinα=sin(α+β)/sinα+sinβ

　　证明方法二：

　　对于焦点△F1PF2,设PF1=m,PF2=n则m+n=2a在△F1PF2中,由余弦定理:(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2所以mn=2b^2/(1+cosθ)S=(mnsinθ)/2.(正弦定理的三角形面积公式)=b^2*sinθ/(1+cosθ)=b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/2[cos(θ/2)]^2=b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2)=b^2*tan(θ/2)

　　双曲线焦点三角形面积公式

　　若∠F1PF2=θ,则S△F1PF2=b^2;·cot（θ/2)·例：已知F1、F2为双曲线C：x^2;-y^;=1的左右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为多由双曲线焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b^2;·cot（θ/2)=1×cot30°,设P到x轴的距离为h,则S△F1PF2=½×F1F2×h=½2√2×h=√3,h=√6/2