公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列(即排序).(P是旧用法,现在教材上多用A,Arrangement)

　　公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列（即不排序）.

　　例1.从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列,这样的不同等差数列有________个.

　　分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题.

　　设a,b,c成等差,∴2b=a+c,可知b由a,c决定,

　　又∵2b是偶数,∴a,c同奇或同偶,即：从1,3,5,……,19或2,4,6,8,……,20这十个数中选出两个数进行排列,由此就可确定等差数列,因而本题为2=180.

　　例2.某城市有4条东西街道和6条南北的街道,街道之间的间距相同,如图.若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进,则从M到N有多少种不同的走法?

　　分析：对实际背景的分析可以逐层深入

　　（一）从M到N必须向上走三步,向右走五步,共走八步.

　　（二）每一步是向上还是向右,决定了不同的走法.

　　（三）事实上,当把向上的步骤决定后,剩下的步骤只能向右.

　　从而,任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走,就可以确定走法数,

　　∴本题答案为：=56.

　　2．注意加法原理与乘法原理的特点,分析是分类还是分步,是排列还是组合

　　例3．在一块并排的10垄田地中,选择二垄分别种植A,B两种作物,每种种植一垄,为有利于作物生长,要求A,B两种作物的间隔不少于6垄,不同的选法共有______种.

　　分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数,组合数的式子表示,因而采取分类的方法.

　　第一类：A在第一垄,B有3种选择；

　　第二类：A在第二垄,B有2种选择；

　　第三类：A在第三垄,B有一种选择,

　　同理A、B位置互换,共12种.

　　例4．从6双不同颜色的手套中任取4只,其中恰好有一双同色的取法有________.

　　(A)240(B)180(C)120(D)60

　　分析：显然本题应分步解决.

　　（一）从6双中选出一双同色的手套,有6种方法；

　　（二）从剩下的十只手套中任选一只,有10种方法.

　　（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只,有8种方法；

　　（四）由于选取与顺序无关,因而（二）（三）中的选法重复一次,因而共240种.

　　例5．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列,在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮,则所有不同的排法种数为_______.

　　分析：每一纵列中的两人只要选定,则他们只有一种站位方法,因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系,共有三纵列,从而有=90种.

　　例6．在11名工人中,有5人只能当钳工,4人只能当车工,另外2人能当钳工也能当车工.现从11人中选出4人当钳工,4人当车工,问共有多少种不同的选法?

　　分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏,如何做到这一点?分类的标准必须前后统一.

　　以两个全能的工人为分类的对象,考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准.

　　第一类：这两个人都去当钳工,有种；

　　第二类：这两人有一个去当钳工,有种；

　　第三类：这两人都不去当钳工,有种.

　　因而共有185种.

　　例7．现有印着0,l,3,5,7,9的六张卡片,如果允许9可以作6用,那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?

　　分析：有同学认为只要把0,l,3,5,7,9的排法数乘以2即为所求,但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换,因而必须分类.

　　抽出的三数含0,含9,有种方法；

　　抽出的三数含0不含9,有种方法；

　　抽出的三数含9不含0,有种方法；

　　抽出的三数不含9也不含0,有种方法.

　　又因为数字9可以当6用,因此共有2×(+)++=144种方法.

　　例8．停车场划一排12个停车位置,今有8辆车需要停放,要求空车位连在一起,不同的停车方法是________种.

　　分析：把空车位看成一个元素,和8辆车共九个元素排列,因而共有种停车方法.

　　3．特殊元素,优先处理；特殊位置,优先考虑

　　例9．六人站成一排,求

　　(1)甲不在排头,乙不在排尾的排列数

　　(2)甲不在排头,乙不在排尾,且甲乙不相邻的排法数

　　分析：（1）先考虑排头,排尾,但这两个要求相互有影响,因而考虑分类.

　　第一类：乙在排头,有种站法.

　　第二类：乙不在排头,当然他也不能在排尾,有种站法,

　　共+种站法.

　　（2）第一类：甲在排尾,乙在排头,有种方法.

　　第二类：甲在排尾,乙不在排头,有种方法.

　　第三类：乙在排头,甲不在排头,有种方法.

　　第四类：甲不在排尾,乙不在排头,有种方法.

　　共+2+=312种.

　　例10．对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试,至区分出所有次品为止.若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现,则这样的测试方法有多少种可能?

　　分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品,并且是最后一个次品,因而第五次测试应算是特殊位置了,分步完成.

　　第一步：第五次测试的有种可能；

　　第二步：前四次有一件正品有中可能.

　　第三步：前四次有种可能.

　　∴共有种可能.

　　O(∩_∩)O哈哈~