费马数2^(2^n)+1

　　被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马,也研究过质数的性质.他发现,设F(n)=2^(2^n)+1,则当n分别等于0、1、2、3、4时,Fn分别给出3、5、17、257、65537,都是质数,由于F5太大（F5=4294967297）,他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数,Fn都是质数.这便是费马数.但是,就是在F5上出了问题!费马死后67年,25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=4294967297=641×6700417,它并非质数,而是一个合数!更加有趣的是,以后的Fn值,数学家再也没有找到哪个Fn值是质数,全部都是合数.目前由于平方开得较大,因而能够证明的也很少.现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495.这可是个超级天文数字,其位数多达10^10584位,当然它尽管非常之大,但也不是个质数.质数和费马开了个大玩笑!这又是一个合情推理失败的案例!

　　梅森素数

　　17世纪还有位法国数学家叫梅森,他曾经做过一个猜想：2^p-1,当p是质数时,2^p-1是质数.他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时,所得代数式的值都是质数,后来,欧拉证明p=31时,2^p-1是质数.p=2,3,5,7时,2^p-1都是素数,但p=11时,所得2047=23×89却不是素数.还剩下p=67、127、257三个梅森数,由于太大,长期没有人去验证.梅森去世250年后,美国数学家科勒证明,2^67-1=193707721×761838257287,是一个合数.这是第九个梅森数.20世纪,人们先后证明：第10个梅森数是质数,第11个梅森数是合数.质数排列得这样杂乱无章,也给人们寻找质数规律造成了困难.现在,数学家找到的最大的梅森数是一个有9808357位的数：2^32582657-1.数学家虽然可以找到很大的质数,但质数的规律还是无法循通.