斐波那契数列斐波那契数列目录

　　【该数列有很多奇妙的属性】

　　【与之相关的数学问题】

　　【斐波那契数列别名】

　　【斐波那挈数列通项公式的推导】

　　【C语言程序】

　　【C#语言程序】

　　【Java语言程序】

　　【Pascal语言程序】

　　【PL/SQL程序】

　　【数列与矩阵】

　　【数列值的另一种求法】

　　【数列的前若干项】

　　【斐波那契数列的应用】

　　【PL/SQL程序】

　　【数列与矩阵】

　　【数列值的另一种求法】

　　【数列的前若干项】

　　【斐波那契数列的应用】

　　“斐波那契数列”的发明者,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci,生于公元1170年,卒于1240年.籍贯大概是比萨）.他被人称作“比萨的列昂纳多”.1202年,他撰写了《珠算原理》(LiberAbaci)一书.他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人.他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区,列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学.他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学.

　　斐波那契数列指的是这样一个数列：0,1,1,2,3,5,8,13,21……

　　这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和.它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例.）【√5表示根号5】

　　很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的.

　　[编辑本段]【该数列有很多奇妙的属性】

　　比如：随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……

　　还有一项性质,从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积少（请自己验证后自己确定）1,每个偶数项的平方都比前后两项之积多（请自己验证后自己确定）1.

　　如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你：为什么64＝65?其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的面积确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到.

　　如果任意挑两个数为起始,比如5、-2.4,然后两项两项地相加下去,形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等,你将发现随着数列的发展,前后两项之比也越来越逼近黄金分割,且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值.如果所有的数都要求是自然数,能找出被任意正整数整除的项的此类数列,必然是斐波那契数列的某项开始每一项的倍数,如4,6,10,16,26……（从2开始每个数的两倍）.

　　斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数.

　　斐波那契数列（f(n),f(0)=0,f(1)=1,f(2)=1,f(3)=2……）的其他性质：

　　1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1

　　2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-1

　　3.f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-1

　　4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)

　　5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1

　　6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)

　　7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)

　　8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2

　　在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列

　　1

　　11

　　121

　　1331

　　14641

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　　过第一行的“1”向左下方做45度斜线,之后做直线的平行线,将每条直线所过的数加起来,即得一数列1、1、2、3、5、8……

　　（1）细察下列各种花,它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花.

　　（2）细察以下花的类似花瓣部分,它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊.

　　斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：

　　3………………………百合和蝴蝶花

　　5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草

　　8………………………翠雀花

　　13………………………金盏草

　　21………………………紫宛

　　34,55,84……………雏菊

　　（3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现.例如,在树木的枝干上选一片叶子,记其为数0,然后依序点数叶子（假定没有折损）,直到到达与那息叶子正对的位置,则其间的叶子数多半是斐波那契数.叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回.叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数.在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词,意即叶子的排列）比.多数的叶序比呈现为斐波那契数的比.

　　（4）斐波那契数列与黄金比值

　　相继的斐波那契数的比的数列：

　　它们交错地或大于或小于黄金比的值.该数列的极限为.这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线,那里也就会出现斐波那契数,反之亦然.

　　[编辑本段]【与之相关的数学问题】

　　1.排列组合.

　　有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?

　　这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶,有两种登法；登上三级台阶,有三种登法；登上四级台阶,有五种登法……

　　1,2,3,5,8,13……所以,登上十级,有89种

　　2.数列中相邻两项的前项比后项的极限.

　　就是问,当n趋于无穷大时,F(n)/F(n+1)的极限是多少?

　　这个可由它的通项公式直接得到,极限是(-1+√5)/2,这个就是所谓的黄金分割点