【定义在R上的函数f（x）,对任意的实数x,y,恒有f（x）-查字典问答网

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　　【定义在R上的函数f（x）,对任意的实数x,y,恒有f（x）+f（y）=f（x+y）,且当x＞0时,f（x）＜0.又f（1）=-2/3（1）求证,f（X）是奇函数（2）求证：f（x）在R上是减函数（3）求函数f（x）在【-3,3】上】

　　定义在R上的函数f（x）,对任意的实数x,y,恒有f（x）+f（y）=f（x+y）,且当x＞0时,f（x）＜0.又f（1）=-2/3

　　（1）求证,f（X）是奇函数

　　（2）求证：f（x）在R上是减函数

　　（3）求函数f（x）在【-3,3】上的值域（主要是求出解析式很重要

1回答

2020-02-29 15:33

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马广富

　　（1）在恒等式f(x)+f(y)=f(x+y),x,y∈R中,

　　令x=y=0,得f(0)=0,

　　再令y=-x,由f(0)=0,

　　得f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x)

　　∴f(x)为R上的奇函数.

　　（2）设x1,x2∈R,且x1=x2+△x,（△x>0）,

　　则x1>x2,

　　由f(x)为R上的奇函数及恒等式可知,

　　f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(△x)

　　∵已知当x>0时,f(x)0,

　　∴f(△x)

2020-02-29 15:37:49