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  特征根公式求数列通项公式怎么用啊

  我要通俗的

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2020-02-29 14:11
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胡顺仁

  特征根法仅实用于求关系式中仅含有An和An+1的数列的通项.

  即把式子中的An和An+1都用一个字母x替换,就变成了一个关于x的方程式,解出x

  情况1:如果x有一个解,就原式两边减去这个x的值,然后两边都变为倒数(等式依然成立),这时就很容易看出规律来了

  情况2:如果x有两个解,值分别为m和n,就用原式两边分别减去m得式子*,再用原式两边分别减去n,得式子#,然后用将两式化简,再用式子*左边除以式子#左边,式子*右边除以式子#右边,再左边等于右边,就很容易看出规律了!

  例:已知数列{an}中,a1=1,则a(n+1)=an+6/an+2.求该数列的通项公式

  【解】

  a(n+1)=(an+6)/(an+2),解特征方程:x=(x+6)/(x+2),解得x=2或-3.

  a(n+1)=(an+6)/(an+2),

  两边减去2可得:

  a(n+1)-2=(an+6)/(an+2)-2,a(n+1)-2=(-an+2)/(an+2),

  (a(n+1)-2)=-(an-2)/(an+2).……①

  a(n+1)=(an+6)/(an+2),

  两边减去-3可得:a(n+1)+3=(an+6)/(an+2)+3,

  a(n+1)+3=(4an+12)/(an+2),(a(n+1)+3)=4(an+3)/(an+2).……②

  ①÷②可得:[(a(n+1)-2)/[(a(n+1)+3)/=-1/4*[(an-2)/(an+3)],

  所以数列{(an-2)/(an+3)}是公比为-1/4的等比数列,首项为(a1-2)/(a1+3)=-1/4,

  所以(an-2)/(an+3)=(-1/4)*(-1/4)^(n-1),(an-2)/(an+3)=(-1/4)^n,

  解得:an=[3+2*(-4)^n]/[(-4)^n-1].

  例:A1=1,A2=1,A(n+2)=5A(n+1)-6An,

  【解】

  特征方程为:y²=5y-6那么,m=3,n=2,或者m=2,n=3

  于是,A(n+2)-3A(n+1)=2[A(n+1)-3An](1)

  A(n+2)-2A(n+1)=3[A(n+1)-2An](2)

  所以,A(n+1)-3A(n)=-2^n(3)

  A(n+1)-2A(n)=-3^(n-1)(4)

  消元消去A(n+1),就是An,

  An=-3^(n-1)+2^n.

2020-02-29 14:13:35

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