来自施芹的问题
△ABC的边长分别为a,b,c,P为△ABC内任一点,点P到三边的距离分别为z、x、y求当a/x+b/y+c/z取最小值时点P的位置
△ABC的边长分别为a,b,c,P为△ABC内任一点,点P到三边的距离分别为z、x、y
求当a/x+b/y+c/z取最小值时点P的位置
1回答
2020-03-02 23:15
△ABC的边长分别为a,b,c,P为△ABC内任一点,点P到三边的距离分别为z、x、y求当a/x+b/y+c/z取最小值时点P的位置
△ABC的边长分别为a,b,c,P为△ABC内任一点,点P到三边的距离分别为z、x、y
求当a/x+b/y+c/z取最小值时点P的位置
先证一个不等式a、b、c、x、y、z为正数时
﹙ax+by+cz﹚﹙a/x+b/y+c/z﹚=a²+b²+c²+﹙aby+acz﹚/x+﹙abx+cbz﹚/y+﹙acx+bcy﹚/z=a²+b²+c²+ab[﹙x/y﹚+﹙y/x﹚]+ac[﹙x/z﹚+﹙z/x﹚]+bc[﹙y/z﹚+﹙z/y﹚]≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=﹙a+b+c﹚²等号仅在x=y=z时成立
ax+by+cz=2SS为△ABC面积为一定值
∴a/x+b/y+c/z≥﹙a+b+c﹚²/2S等号仅在x=y=z时成立这时P为△ABC的内心