在某平面上,有4个村庄恰好坐落在边长为2km的正方形顶点上,为此需要建立一个使得任何2个村庄都可有通道的道路网.请你合理设计一个道路网,使它的总长度不超过5.5km(取
在某平面上,有4个村庄恰好坐落在边长为2km的正方形顶点上,为此需要建立一个使得任何2个村庄都可有通道的道路网.请你合理设计一个道路网,使它的总长度不超过5.5km(取=1.4142,=1.7321).
在某平面上,有4个村庄恰好坐落在边长为2km的正方形顶点上,为此需要建立一个使得任何2个村庄都可有通道的道路网.请你合理设计一个道路网,使它的总长度不超过5.5km(取
在某平面上,有4个村庄恰好坐落在边长为2km的正方形顶点上,为此需要建立一个使得任何2个村庄都可有通道的道路网.请你合理设计一个道路网,使它的总长度不超过5.5km(取=1.4142,=1.7321).
答案:
解析:
设四个村庄分别为A、B、C、D.(1)沿正方形四条边ABCDA修筑道路网,总长度为8km,不合要求(2)连结两条对角线可作通道,其总长是>5.5,也不合要求(3)由平面几何的知识知道,在正方形ABCD所在平面内任了取一点P(如图所示),连结PA、PB、PC、PD所修建的道路网,当P点重合于O时,道路网最短,即PA+PB+PC+PD≥AC+BD=(4)要减少总长度,就必须增加公共部分,注意应用正方形既有轴对称,又有中心对称的性质,在平面ABCD上取两点E、F,并通过中心O修一条公共道路EF(如图所示)使EF⊥AD,OE=OF=x(0≤x≤1),则道路网的总长度为y,且y=2x+.因为y≤5.5,得2x+≤5.5.化简,得48x2-40x+7≤0,解得≤x≤.此时,x∈[0,1],据此可有无数种道路网设计方案满足要求.
分析:
这是一道策略开放题,题目给出了实际问题的情景(条件)和基本要求(结论),要求考生根据题意对一些常见的可能设计进行列举、计算、取舍,然后逐渐逼近题目的合理解法.
点评:
根据方案(4),我们可以算出y的最小值,即最佳设计方案.由y=2x+得(y-2x)2=()2所以y2-4xy+4x2=16+16-32x+16x2即12x2-2(8-y)x+(32-y2)=0由△=16(8-y)2-48(32-y2)≥0得y2-4y-8≥0.又因为y>0,所以y≥2(1+),当y=2(1+)时,x=.即x=时,ymin=2(1+)≈5.4642km.