要介绍《十二平均律曲集》,就得先介绍什么是“十二平均律”.而要介绍“十二平均律”,就得先介绍什么是“律”.

　　“律”,即“音律”（intonation）,指为了使音乐规范化,人们有意选择的一组高低不同的音符所组成的体系,以及这些音符之间的相互关系.比如大家都知道的do、re、mi、fa、so、la、si,这7个音符就组成了一组音律.研究音律的学问叫做“律学”.也就是研究为什么要选择do、re、mi……这7个音（当然也可以选择其它音）作为规范、这些被当成“标尺”的音是怎么产生的、以及它们之间到底是什么关系的学问.

　　对于任何民族来说,只要他们有着丰富的音乐体验,只要他们想积累起关于音乐的知识,迟早都会遇到关于律学的问题.令人惊讶的是,古今不同民族,虽然各自钟爱的音乐形式可谓万紫千红、百花争艳,彼此也没有互相借鉴,但大家的律学的基础概念却出奇地相似.这也许是音乐本身超文化、超地域的魅力所致吧.

　　（BTW：现代人学习的do、re、mi、fa、so、la、si,这些好像没有意义的单词,其实都是中世纪时西方教会中很流行的一些拉丁文圣咏（chant）的首音节.这些圣咏是西方现代音乐的源头.）

　　学过高中物理的都知道,声音的本质是空气的振动.而空气的振动是以波的形式传播的,也就是所谓的声波.所有的波（包括声波、电磁波等等）都有三个最本质的特性：频率／波长、振幅、相位.对于声音来说,声波的频率（声学中一般不考虑波长）决定了这个声音有多“高”,声波的振幅决定了这个声音有多“响”,而人耳对于声波的相位不敏感,所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题.

　　律学当然不考虑声音有多“响”,所以律学研究的重点就是声波的频率.一般来说,人耳能听到的声波频率范围是20HZ（每秒振动20次）到20000HZ（每秒振动20000次）之间.声波的频率越大（每秒振动的次数越多）,听起来就越“高”.频率低于20HZ的叫“次声波”,高于20000HZ的叫“超声波”.

　　（BTW：人耳能分辨的最小频率差是2HZ.举例而言就是,人能听出100HZ和102HZ的声音是不同的,但听不出100HZ和101HZ的声音有什么不同.另外,人耳在高音区的分辨能力迅速下降,原因见后.）

　　需要特别指出的是,人耳对于声波的频率是指数敏感的.打比方说,100HZ、200HZ、300HZ、400HZ……这些声音,人听起来并不觉得它们是“等距离”的,而是觉得越到后面,各个音之间的“距离”越近.100HZ、200HZ、400HZ、800HZ……这些声音,人听起来才觉得是“等距离”的（为什么会这样我也不清楚）.换句话说,某一组声音,如果它们的频率是严格地按照×1、×2、×4、×8……,即按2n的规律排列的话,它们听起来才是一个“等差音高序列”.

　　（比如这里有16个音,它们的频率分别是110HZ的1倍、2倍、3倍……16倍.大家可以听一下,感觉它们是不是音越高就“距离”越近.用音乐术语来说,这些音都是110HZ的“谐波”（harmonics）,即这些声波的频率都是某一个频率的整数倍.这个ogg文件可以用“暴风影音”／StormCodec软件来试听.）

　　由于人耳对于频率的指数敏感,上面提到的“×2就意味着等距离”的关系是音乐中最基本的关系.用音乐术语来说,×2就是一个“八度音程”（octave）.前面提到的do、re、mi中的do,以及so、la、si后面的那个高音do,这两个do之间就是八度音程的关系.也就是说,高音do的频率是do的两倍.同样的,re和高音re之间也是八度音程的关系,高音re的频率是re的两倍.而高音do上面的那个更高音的do,其频率就是do的4倍.也可以说,它们之间隔了两个“八度音程”.显然,一个音的所有“八度音程”都是它的“谐波”,但不是它的所有“谐波”都是自己的“八度音程”.

　　很自然,用do、re、mi写的歌,如果换用高音do、高音re、高音mi来写,听众只会觉得音变高了,旋律本身不会有变化.这种等效性,其实就是“等差音高序列”的直接结果.

　　“八度音程”的重要性,世界各地的人们都发现了.比如我国浙江的河姆渡遗址,曾经出土了一管距今9000年的笛子（是用鹤的腿骨做的）,它能演奏8个音符,其中就包含了一个八度音程.当然这个八度音程不会是do到高音do,因为只要是一个音的频率是另一个的两倍,它们就是八度音程的关系,和具体某一个音有多高没有关系.

　　明白了八度音程的重要性,下面来介绍在一个八度音程之内,还有那些音是重要的.这其实是律学的中心问题.也就是说,如果某一个音的频率是F,那么我们要寻找F和2F之间还有那些重要的频率.

　　如果大家有学习弦乐器（比如吉它、古琴、小提琴）的经验的话,都明白它们能发声是因为琴弦的振动.而琴弦的振动是和琴弦的长度有关系的.如果在一根弦振动的时候,用手指按住弦的中点,即让原来全部振动的弦,变成两根以1/2长度振动的弦,我们会听到一个比较高的音.这个音和原来的音之间就是八度音程的关系.因为在物理上,弦的振动频率和其长度是成反比的.

　　由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一,所以这种现象古人早已熟悉.他们自然会想：如果八度音程的2:1的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式就能实现,那么试试按其它的位置会怎么样呢?数学上2:1是最简单的比例关系了,简单性仅次于它的就是3:1.那么,我们如果按住弦的1/3点,会怎么样呢?其结果是弦发出了两个高一些的音.一个音的频率是原来的3倍（因为弦长变成了原来的1/3）,另一个音是原来的3/2倍（因为弦长变成了原来的2/3）.这两个音彼此也是八度音程的关系（因为它们彼此的弦长比是2:1）.这样,在我们要寻找的F～2F的范围内,出现了第一个重要的频率,即3/2F.（那个3F的频率正好处于下一个八度,即2F～4F中的同样位置.）

　　接着再试,数学上简单性仅次于3:1的是4:1,我们试试按弦的1/4点会怎样?又出现了两个音.一个音的频率是原来的4倍（因为弦长变成了原来的1/4）,这和原来的音（术语叫“主音”）是两个八度音程的关系,可以不去管它.另一个音的频率是主音的4/3倍（因为弦长是原来的3/4）.现在我们又得到了一个重要的频率,4/3F.

　　同一根弦,在不同的情况下振动,可以发出很多频率的声音.在听觉上,与主音F最和谐的就是3/2F和4/3F（除了主音的各个八度之外）.这个现象也被很多民族分别发现了.比如最早从数学上研究弦的振动问题的古希腊哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras,约公元前6世纪）.我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”.具体说来是取一段弦,“三分损一”,即均分弦为三段,舍一留二,便得到3/2F.如果“三分益一”,即弦均分三段后再加一段,便得到4/3F.

　　得到这两个频率之后,是否继续找1/5点、1/6点等等继续试下去呢?不行,因为听觉上这些音与主