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  向量证明三角形重心定理三角形ABC,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,BF、CD交于点O,设向量AB=向量a,向量AC=向量b(1)证明AOE三点在同一直线上,且AO:OE=BO:OF=CO:OD=2(2)用a、b表示向量AO

  向量证明三角形重心定理

  三角形ABC,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,BF、CD交于点O,设向量AB=向量a,向量AC=向量b

  (1)证明AOE三点在同一直线上,且AO:OE=BO:OF=CO:OD=2

  (2)用a、b表示向量AO

1回答
2020-03-04 21:36
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李春义

  向量BO与向量BF共线,故可设BO=xBF,

  根据三角形加法法则:向量AO=AB+BO

  =a+xBF=a+x(AF-AB)

  =a+x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.

  向量CO与向量CD共线,故可设CO=yCD,

  根据三角形加法法则:向量AO=AC+CO

  =b+yCD=b+y(AD-AC)

  =b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.

  所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.

  则1-x=y/2,x/2=1-y,

  解得x=2/3,y=2/3.

  向量BO=2/3BF,向量CO=2/3CD,

  即BO:OF=CO:OD=2.

  ∴向量AO=(y/2)a+(1-y)b=1/3a+1/3b,

  又因向量AE=AB+BE=a+1/2BC=a+1/2(AC-AB)

  =a+1/2(b-a)=1/2a+1/2b,

  从而向量AO=2/3向量AE,

  即向量AO与向量AE共线,所以A、O、E三点共线,

  且有AO:OE=2.

2020-03-04 21:39:39

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