【函数的达人进已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x＋2-查字典问答网

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　　【函数的达人进已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)＝12x,求使f(x)＝－12在[0,2010]上的所有x的个数．】

　　函数的达人进

　　已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)＝12x,求使f(x)＝－12在[0,2010]上的所有x的个数．

1回答

2020-03-04 13:50

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郭宝锋

　　(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x),∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x),

　　∴f(x)是以4为周期的周期函数．

　　(2)当0≤x≤1时,f(x)＝12x,

　　设－1≤x≤0,则0≤－x≤1,∴f(－x)＝12(－x)＝－12x.∵f(x)是奇函数,∴f(－x)＝－f(x),∴－f(x)＝－12x,即f(x)＝12x.故f(x)＝12x(－1≤x≤1)

　　又设1

2020-03-04 13:54:05