【设实数a,b使方程x4+ax3+bx²+ax+1-查字典问答网
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  【设实数a,b使方程x4+ax3+bx²+ax+1=0有实根,求a²+b²的最小值.】

  设实数a,b使方程x4+ax3+bx²+ax+1=0有实根,求a²+b²的最小值.

3回答
2020-03-04 21:06
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茅于杭

  显然x=0时方程有1=0,矛盾表明x≠0将方程两边同时除以x^2则(x^2+1/x^2)+a(x+1/x)+b=0即(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b-2=0因x有解,则x+1/x有解则⊿=a^2-4(b-2)≥0即a^2≥4b-8所以a^2+b^2≥b^2+4b-8=(b+2)^2-12≥-12即(a^2+b^2)...

2020-03-04 21:10:57
刘继周

  可是答案是4/5啊

2020-03-04 21:15:05
茅于杭

  ≤-2是有问题。首先一个低级错误就是a^2+b^2本身是个非负数,最小值不可能是负数更正如下:显然x=0时方程有1=0,矛盾表明x≠0将方程两边同时除以x^2则(x^2+1/x^2)+a(x+1/x)+b=0即(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b-2=0令y=x+1/x则上述方程为y^2+ay+(b-2)=0(I)令方程(I)的解为m、n(可能相等可能不相等)当x>0时由基本不等式知y=x+1/x≥2即m≥2,n≥2由韦达定理有m+n=-amn=b-2即有a=-(m+n)b=mn+2所以a^2+b^2=(m+n)^2+(mn+2)^2=m^2+2mn+n^2+(mn)^2+4mn+4=(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4)令f(m)=(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4)(m≥2)因对称轴m=-3n/(n^2+1)0(注意到n≤-2)则当m≤-2时f(m)min=f(-2)=5n^2-12n+8=5(n-6/5)^2+4/5而因n≤-2则n-6/5≤-16/5于是有(n-6/5)^2≥256/25即有f(m)min≥52综上知a^2+b^2≥52

2020-03-04 21:18:45

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