几何题,100悬赏,要的来!如图,在△ABC中,P为△ABC内的一点,已知∠CAB=80°,AB=AC,∠PBC=10°,∠PCB=20°.求证：∠CAP=20°.
几何题,100悬赏,要的来!
如图,在△ABC中,P为△ABC内的一点,已知∠CAB=80°,AB=AC,∠PBC=10°,∠PCB=20°.求证：∠CAP=20°.
证明：
以BP为对称轴作三角形BPC的轴对称图形BPC',PC'交AC于点D,连接CC',AC',AP.
∵∠PAB=10°,∠PBA=20°
∴∠BPC=150°
同理∠BPC'=150°
∴∠CPC'=∠PCC'=60°
由对称得△BPC≌三角形BPC'
∴PC=PC',∠PC'B=20°
∴等边△CPC'
∴∠PC'C=60°
∵∠BC'P=20°
∴∠BC'C=80°
∵∠BAC=80°
∴A,B,C,C'四点共圆
∵∠PBC=∠PBC'=10°
∴∠CBC'=20°
∴∠CAC'=20°
∵∠BAC=80°,AB=AC
∴∠ACB=(180°-80°)/2=50°
∴∠PCA=30°
∴∠PDC=90°
∴PD=C'D(三线合一）,∠APD=∠ADC'=90°
∵AD=AD
∴△ADP≌△ADC'(SAS)
∴∠PAC=∠CAC'=20°