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来自马国梁的问题

  【关于椭圆与向量直线y=kx+√2与椭圆x^2/3+y^2=1交于不同点A和B,且向量OA点乘向量OB等于1,其中O为坐标原点,求k的值】

  关于椭圆与向量

  直线y=kx+√2与椭圆x^2/3+y^2=1交于不同点A和B,且向量OA点乘向量OB等于1,其中O为坐标原点,求k的值

1回答
2020-03-01 15:32
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陆杨邢

  设A(x1,y1),B(x2,y2),

  向量OA点乘向量OB等于1,则有x1x2+y1y2=1=x1x2+(kx1+√2)(kx2+√2)

  =(1+k^2)x1x2+√2k(x1+x2)+2,

  将y=kx+√2代入椭圆方程,x^2/3+(kx+√2)^2=1,

  即(3k^2+1)x^2+6√2kx+3=0,

  x1,x2是方程的根,则

  x1+x2=-6√2k/(3k^2+1),x1x2=3/(3k^2+1),

  将它们代入1=(1+k^2)x1x2+√2k(x1+x2)+2,

  化简有(4-6k^2)/(3k^2+1)=0解得k=√6/3或-√6/3

2020-03-01 15:35:09

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