双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,其顶点A、B向平行于虚轴-查字典问答网
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  双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,其顶点A、B向平行于虚轴的动弦PQ所张的角互补.(1)求证:双曲线C为等轴双曲线(2)双曲线C与圆D:(x-4)^2+(y-6)^2=13的两个交点M,N的连线段MN正好是圆D直径,试求双

  双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,其顶点A、B向平行于虚轴的动弦PQ所张的角互补.

  (1)求证:双曲线C为等轴双曲线

  (2)双曲线C与圆D:(x-4)^2+(y-6)^2=13的两个交点M,N的连线段MN正好是圆D直径,试求双曲线C的方程.

1回答
2020-03-07 01:38
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李革

  (1)由题知双曲线方程可为:y^2/a^2-x^2/b^2=1(a>0,b>0),设P(x0,y0),则Q(-x0,y0),

  ∵∠PAQ+∠PBQ=180°,∴∠PAE+∠PBE=90°

  ∴tan∠PAE•tan∠PBE=|x0/(y0-a)|•|x0/(y0+a)|=|x0^2/(y0^2-a^2)|

  将双曲线方程代入上式可得tan∠PAE•tan∠PBE=b^2/a^2=1

  ∴a=b(a=-b舍去),

  ∴双曲线C是一条等轴双曲线

  (2)由(1)知双曲线C的方程为y2-x2=a2.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1^2-x1^2=a^2,y2^2-x2^2=a^2,

  ∴(y1+y2)•(y1-y2)-(x1+x2)(x1-x2)=0

  ∵MN的中点为D(4,6),

  ∴12(y1-y2)-8(x1-x2)=0,(y1-y2)/(x1-x2)=8/12=2/3

  即Kmn=2/3

  ∴MN:y-6=2(x-4)/3

  代入圆的方程得:(x-4)^2+(x-4)^2•4/9=13,

  ∴x=7或1,

  ∴M点的坐标为(7,8)或(1,4)

  代入双曲线方程得a^2=8^2-7^2(或4^2-1^2)=15,

  ∴双曲线方程为y^2-x^2=15.

2020-03-07 01:42:11

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