令f(x)=ln(1+x)-[x/(1+x)],x∈(0,1]

　　f'(x)=[1/(1+x)]-[1/(1+x)²]=x/(1+x)²>0,故f(x)在(0,1]递增,∴函数f(x)>f(0)=0

　　则ln(1+x)>x/(1+x),x∈(0,1]

　　令x=1/n,则ln[1+(1/n)]>1/(n+1),n≥1,且n∈N*

　　即ln[(n+1)/n]>1/(n+1),∴ln(n+1)-lnn>1/(n+1)

　　ln2-ln1+ln3-ln2+...+ln(n+1)-lnn>1/2+1/3+...+1/(n+1)

　　∴ln(n+1)-ln1>1/2+1/3+.+1/(n+1),即得证.