【已知数列{an}的前项和为Sn，点（an+2，Sn+1）在-查字典问答网

来自刘毅敏的问题

　　【已知数列{an}的前项和为Sn，点（an+2，Sn+1）在直线y=4x-5上，其中n∈N，令bn=an+1-2an，且a1=1．（1）求证数列{bn}是等比数列；（2）求数列{nbn}的前n项和Tn．】

　　已知数列{an}的前项和为Sn，点（an+2，Sn+1）在直线y=4x-5上，其中n∈N，令bn=an+1-2an，且a1=1．

　　（1）求证数列{bn}是等比数列；

　　（2）求数列{nbn}的前n项和Tn．

1回答

2020-03-11 00:23

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葛传虎

　　（1）因为点（an+2，Sn+1）在直线y=4x-5上；

　　∴Sn+1=4（an+2）-5=4an+3； ①

　　s2=4a1+3=a1+a2⇒a2=6；

　　∴Sn=4an-1+3；②

　　∴①-②：an+1=4an-4an-1；

　　∴an+1-2an=2（an-2an-1）；

　　数列{an-2an-1}是以2为首相，2为公比的等比数列；

　　即数列{bn}是等比数列；

　　所以：bn=an+1-2an=2n+1；

　　（2）∵nbn=n•2n+1；

　　∴Tn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1；③

　　∴2Tn=1×23+2×24+…+（n-1）•2n+1+n•2n+2；④

　　③-④：-Tn=1×22+23+24+…+2n+1-n•2n+2=2

2020-03-11 00:28:12