两道大一高数微分中值定理问题1.证明方程X的5次方+X的3次-查字典问答网
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  两道大一高数微分中值定理问题1.证明方程X的5次方+X的3次方+X+5等于0有且仅有一个实根.2.证明2arctanX+arcsin(1+X平方分之2X)等于π,(X大于等于1).

  两道大一高数微分中值定理问题

  1.证明方程X的5次方+X的3次方+X+5等于0有且仅有一个实根.

  2.证明2arctanX+arcsin(1+X平方分之2X)等于π,(X大于等于1).

1回答
2020-03-10 23:04
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鲍贤捷

  1.设f(x)=x^5+x^3+x+5,当x足够小时,必存在f(a)0(如b=100)

  根据零值定理,f(x)至少有一个实根c,使f(c)=0

  f(x)’=5x^4+3x^2+1>0恒成立,所以f(x)单调递增,f(x)=0至多只有一个实根

  综上,f(x)=0有且仅有一个实根

  2.g(x)=2arctanx+arcsin(2x/(1+x^2)

  g(x)'=2/(1+x^2)+1/跟号1-(2x/(1+x^2)^2*[(2x/(1+x^2)]'

  =2/(1+x^2)+1/根号1-(2x/1+x^2)^2*(2-2x)/(1+x^2)^2

  =2/(1+x^2)+(2-2x)/[(1+x^2)根号(1+x^2-2x)

  因为x大于等于1,所以g(x)'=2/(1+x^2)+(2-2x)/[(1+x^2)(x-1)

  =0

  所以

  g(x)=C=g(1)=2arctan1+arcsin1=2*π/4+π/2=π

  得证.

2020-03-10 23:06:45

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