将1,2,…,2008分成1004组：{1,2008},{2,2007},…,{1004,1005}.设第i组选出的数是a(i),未选出的是b(i).则有∑a(i)=1009000∑b(i)=(1+2+···+2008)-1009000=1008036∑[a(i)²+b(i)²]=(1²+2²...

　　由于x-1＜[x]≤x，故3x+1＜x³=3[x]+4≤3x+4，而x³=3[x]+4为整数，故3x+2≤x³≤3x+4.下面分x≥0和x＜0进行讨论。①x≥0。当x≥3时，x³≤3x+4≤5x，得x²≤5矛盾；当0≤x≤1时，x³≥3x+2≥5x，得x²≥5矛盾。故1＜x＜3,则[x]的可能取值为1,2.当[x]=1时,x³=7∈[1,8)符合题意；当[x]=2时,x³=10∈[8,27)符合题意.②x＜0.由x³≥3x+2＞3x知x²＜3，[x]只能是-1或-2.当[x]=-1时，x³=1矛盾；当[x]=-2时，x³=-2∈[-8,1)符合题意.综上，方程的根有三个，其立方和为-2+7+10=15.