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  设x1,x2,x3,……,x2007为实数,且满足x1x2x3……x2007=x1-x2x3x4x5……x2007=x1x2-x3x4x5……x2007=……=x1x2x3……x2006-x2007=1,则x2000的值是_________

  设x1,x2,x3,……,x2007为实数,且满足x1x2x3……x2007=x1-x2x3x4x5……x2007=x1x2-x3x4x5……x2007=……=x1x2x3……x2006-x2007=1,则x2000的值是_________

1回答
2020-03-10 23:05
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贺小川

  考虑以下方程组

  ab=1

  ab=a-b

  (a+1)b=a

  b=a/(a+1)

  a^2/(a+1)=1

  a^2-a-1=0

  a=(1+-5^0.5)/2

  b

  =(1+-5^0.5)/(3+-5^0.5)

  =(-2+-2*5^0.5)/(9-5)

  =(-1+-5^0.5)/2

  ---------------------------------------------

  因

  x1x2...x2007=1

  x1-x2x3...x2007=1

  故

  x1=(1+-5^0.5)/2

  x2x3...x2007=(-1+-5^0.5)/2

  同理

  x1x2=(1+-5^0.5)/2(不一定与上组解同号)

  x3x4...x2007=(-1+-5^0.5)/2

  x1x2x3=(1+-5^0.5)/2(不一定与上组解同号)

  x4x5...x2007=(-1+-5^0.5)/2

  ...

  x1x2...x2006=(1+-5^0.5)/2(不一定与上组解同号)

  x2007=(-1+-5^0.5)/2

  x2=x1x2/x1=(1+-5^0.5)/(1+-5^0.5)=1

  或x2=x1x2/x1=(1-+5^0.5)/(1+-5^0.5)=(-3+-5^0.5)/2

  因此

  x1=(1+-5^0.5)/2

  x2=1,(-3+-5^0.5)/2(与x1中的根号5同号)

  同理x3=1,(-3+或-5^0.5)/2(与上方最相邻的不为1的解中的根号5反号)

  x4=1,(-3+或-5^0.5)/2(与上方最相邻的不为1的解中的根号5反号)

  ...

  x2006=1,(-3+或-5^0.5)/2(与上方最相邻的不为1的解中的根号5反号)

  x2007=(1+或-5^0.5)/2(若x2...x2006中有偶数个不为1,则x1与x2007的根号5同号,否则为反号)

  共2^2006组解

  x2000有三个可能值:1,(-3+5^0.5)/2,(-3-5^0.5)/2

  例:

  x1=(1+5^0.5)/2

  x2=(-3+5^0.5)/2

  x3=x4=...=x2006=1

  x2007=(-1-5^0.5)/2

  为一组解

  x1=(1+5^0.5)/2

  x2=x3=...=x1999=1

  x2000=(-3+5^0.5)/2

  x2001=...=x2006=1

  x2007=(-1-5^0.5)/2

  也是一组解

  x1=(1+5^0.5)/2

  x2=(-3+5^0.5)/2

  x3=x4=...=x1999=1

  x2000=(-3-5^0.5)/2

  x2001=...=x2006=1

  x2007=(-1+5^0.5)/2

  也是一组解

2020-03-10 23:07:14

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