在直角三角形ABC中,角C=90°,角A=30°,角C的平分线与角B的外角平分线交于E点,连接AE,则角AEB为多少度?

　　答案在这：过E作BC,AB,AC的垂线EF,EG,EH,垂足分别为F,G,H,

　　∵CE,BE分别为角平分线,∴EF=EG=EH,AE平分∠BAH,

　　∴∠BAE=75°,

　　∴∠AEB=180°-60°-75°=45°

　　1.已知在三角形ABC中,BE,CF分别是角平分线,D是EF中点,若D到三角形三边BC,AB,AC的距离分别为x,y,z,求证：x=y+z

　　证明;过E点分别作AB,BC上的高交AB,BC于M,N点.

　　过F点分别作AC,BC上的高交于P,Q点.

　　根据角平分线上的点到角的2边距离相等可以知道FQ=FP,EM=EN.

　　过D点做BC上的高交BC于O点.

　　过D点作AB上的高交AB于H点,过D点作AB上的高交AC于J点.

　　则X=DO,Y=HY,Z=DJ.

　　因为D是中点,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME,ME=2HD

　　同理可证FP＝2DJ.

　　又因为FQ=FP,EM=EN.

　　FQ＝2DJ,EN＝2HD.

　　又因为角FQC,DOC,ENC都是90度,所以四边形FQNE是直角梯形,而D是中点,所以2DO＝FQ＋EN

　　又因为

　　FQ＝2DJ,EN＝2HD.所以DO＝HD＋JD.

　　因为X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z.

　　2.在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、EA上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108°,请问结论BM=CN是否成立?若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由.

　　当∠BON=108°时.BM=CN还成立

　　证明；如图5连结BD、CE.

　　在△BCI)和△CDE中

　　∵BC=CD,∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE

　　∴ΔBCD≌ΔCDE

　　∴BD=CE,∠BDC=∠CED,∠DBC=∠CEN

　　∵∠CDE=∠DEC=108°,∴∠BDM=∠CEN

　　∵∠OBC+∠ECD=108°,∠OCB+∠OCD=108°

　　∴∠MBC=∠NCD

　　又∵∠DBC=∠ECD=36°,∴∠DBM=∠ECN

　　∴ΔBDM≌ΔCNE∴BM=CN

　　3.三角形ABC中,AB=AC,角A=58°,AB的垂直平分线交AC与N,则角NBC=()

　　3°

　　因为AB=AC,∠A=58°,所以∠B=61°,∠C=61°.

　　因为AB的垂直平分线交AC于N,设交AB于点D,一个角相等,两个边相等.所以,Rt△ADN全等于Rt△BDN

　　所以∠NBD=58°,所以∠NBC=61°-58°=3°

　　4.在正方形ABCD中,P,Q分别为BC,CD边上的点.且角PAQ＝45°,求证：PQ＝PB＋DQ

　　延长CB到M,使BM=DQ,连接MA

　　∵MB=DQAB=AD∠ABM=∠D=RT∠

　　∴三角形AMB≌三角形AQD

　　∴AM=AQ∠MAB=∠DAQ

　　∴∠MAP=∠MAB+∠PAB=45度=∠PAQ

　　∵∠MAP=∠PAQ

　　AM=AQAP为公共边

　　∴三角形AMP≌三角形AQP

　　∴MP=PQ

　　∴MB+PB=PQ

　　∴PQ=PB+DQ

　　5.正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=BN,BP⊥MC于点P,求证DP⊥NP

　　∵直角△BMP∽△CBP

　　∴PB/PC=MB/BC

　　∵MB=BN

　　正方形BC=DC

　　∴PB/PC=BN/CD

　　∵∠PBC=∠PCD

　　∴△PBN∽△PCD

　　∴∠BPN=∠CPD

　　∵BP⊥MC

　　∴∠BPN+∠NPC=90°

　　∴∠CPD+∠NPC=90°

　　∴DP⊥NP