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  【高中数学题已知函数f(x)=(x^2/2)+alnx,g(x)=(a+1)x,其中a属于R,且a≠-1,(1)若两个函数在区间〔1,2〕上都是单调函数且单调性相同,求a取值范围(2)设H(x)=f(x)-g(x),若α,β(α<β且β属于(1,e])】

  高中数学题

  已知函数f(x)=(x^2/2)+alnx,g(x)=(a+1)x,其中a属于R,且a≠-1,(1)若两个函数在区间〔1,2〕上都是单调函数且单调性相同,求a取值范围(2)设H(x)=f(x)-g(x),若α,β(α<β且β属于(1,e])是函数H(x)的两个极致点,证明:对任意x1,x2属于[α,β],都有|H(x1)-H(x2)|<1成立(参考值e=2.71828)

1回答
2020-03-13 16:28
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沈孝龙

  析:f(x)=(x^2/2)+alnx的导数为(x^3+a)/x

  (1)由于g(x)=(a+1)x为一次函数,先从g(x)的单调性入手:

  在区间〔1,2〕上,当a>-1时g(x)递增,此时x^3+a>0即f(x)的导数>0,f(x)也递增,成立;

  当a<-1时g(x)递减,此时去寻找使得f(x)递减的a的值,即即(x)的导数<0的a的值,即x^3+a<0恒成立的a的值,即a<-x^3在区间〔1,2〕上恒成立的a的值,所以a≤-8

  综上所述,当a≤-8或a>-1时满足要求.

  (2)H(x)=f(x)-g(x)=)=(x^2/2)+alnx-(a+1)x,则H(x)的导数为(x^3+a-ax-x)/x

  =(x-1)(x^2+x-a)/x,由于若α,β为H(x)的两个极值点,且0<α<β,所以只有α=1,

  且β为方程x^2+x-a=0的那一个正根(另一根必为负,舍去)当x∈(α,β)时,H(x)单调递减,当x∈(β,+∞)时H(x)单调递增,

  所以对任意x1,x2属于[α,β],都有|H(x1)-H(x2)|≤H(α)-H(β)(重要的转化!)=H(1)-H(β)

  下面只需要证明H(1)-H(β)<1即可

2020-03-13 16:29:13

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