在△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分线，P-查字典问答网

来自罗巨波的问题

　　在△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分线，P是射线AC上任意一点（不与A、D、C三点重合），过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，交直线BD于E．（1）如图①，当点P在线段AC上时，说明∠PDE=∠PED．（2）

　　在△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分线，P是射线AC上任意一点（不与A、D、C三点重合），过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，交直线BD于E．

　　（1）如图①，当点P在线段AC上时，说明∠PDE=∠PED．

　　（2）作∠CPQ的角平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系？画出图形并说明理由．

1回答

2020-03-13 14:37

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凌智强

　　（1）∵PQ⊥AB，

　　∴∠EQB=∠C=90°，

　　∴∠BEQ+∠EBQ=90°，∠CBD+∠PDE=90°，

　　∵BD为∠ABC的平分线，

　　∴∠CBD=∠EBQ，

　　∵∠PED=∠BEQ，

　　∴∠PDE=∠PED；

　　（2）当P在线段AC上时，如图1所示，此时PF∥BD，

　　理由为：∵∠PDE=∠PED，

　　∴PD=PE，

　　∵PF为∠CPQ的平分线，∠CPQ为△PDE的外角，

　　∴∠CPF=∠QPF=∠PDE=∠PED，

　　∴PF∥BD；

　　当P在线段AC延长线上时，如图2所示，PF⊥BD，

　　理由为：∵∠PDE=∠PED，

　　∴PD=PE，

　　∵PM为∠CPQ的平分线，

　　∴PF⊥BD．

2020-03-13 14:41:10