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  【已知函数f(x)=x^2-alnx-1,函数F(x)=(根号x)-1/(根号x)+1如果函数f(x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数,求实数a的取值范围,当a=2时,你认为函数y=f(x)/x-1的图象与y=F(x)的图象有多少个公共点】

  已知函数f(x)=x^2-alnx-1,函数F(x)=(根号x)-1/(根号x)+1

  如果函数f(x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数,求实数a的取值范围,当a=2时,你认为函数y=f(x)/x-1的图象与y=F(x)的图象有多少个公共点,请证明你的结论

1回答
2020-03-15 12:15
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秦素勤

  (Ⅰ)先对函数求导,然后由由已知f'(2)=1,可求a

  (II)先求函数f(x)的定义域为(0,+∞),要判断函数的单调区间,需要判断导数f′(x)=2x+2ax=2x2+2ax

  的正负,分类讨论:分(1)当a≥0时,(2)当a<0时两种情况分别求解

  (II)由g(x)可求得g′(x),由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数,可知g'(x)≤0在[1,2]上恒成立,即a≤1x−x2在[1,2]上恒成立,要求a的范围,只要求解h(x)=1x−x2,在[1,2]上的最小值即可(Ⅰ)f′(x)=2x+2ax=2x2+2ax…(1分)

  由已知f'(2)=1,解得a=-3.…(3分)

  (II)函数f(x)的定义域为(0,+∞).

  (1)当a≥0时,f'(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);…(5分)

  (2)当a<0时f′(x)=2(x+−a)(x−−a)x.

  当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:

  x(0,−a)−a(−a,+∞)f'(x)-0+f(x)极小值由上表可知,函数f(x)的单调递减区间是(0,−a);

  单调递增区间是(−a,+∞).…(8分)

  (III)由g(x)=2x+x2+2alnx得g′(x)=−2x2+2x+2ax,…(9分)

  由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数,

  则g'(x)≤0在[1,2]上恒成立,

  即−2x2+2x+2ax≤0在[1,2]上恒成立.

  即a≤1x−x2在[1,2]上恒成立.…(11分)

  令h(x)=1x−x2,在[1,2]上h′(x)=−1x2−2x=−(1x2+2x)<0,

  所以h(x)在[1,2]为减函数.h(x)min=h(2)=−72,

  所以a≤−72.…

2020-03-15 12:18:57

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