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来自李祖伟的问题

  【如图1所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,∠DCB=75°,以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上.(1)求∠AED的度数;(2)求证:AB=BC;(3)如图2所示,若F为线段CD上一点,∠FBC=30°,】

  如图1所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,∠DCB=75°,以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上.

  (1)求∠AED的度数;

  (2)求证:AB=BC;

  (3)如图2所示,若F为线段CD上一点,∠FBC=30°,求DFFC的值.

1回答
2020-03-17 14:28
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纪文成

  (1)∵∠BCD=75°,AD∥BC,

  ∴∠ADC=105°.

  由等边△DCE可知∠CDE=60°,

  故∠ADE=45°.

  由AB⊥BC,AD∥BC,可得∠DAB=90°,

  ∴∠AED=45°.

  (2)证明:由(1)知∠AED=45°,

  ∴AD=AE,故点A在线段DE的垂直平分线上.

  由△DCE是等边三角形得CD=CE,故点C也在线段DE的垂直平分线上.

  ∴AC就是线段DE的垂直平分线,即AC⊥DE.

  连接AC,∵∠AED=45°,

  ∴∠BAC=45°,

  又∵AB⊥BC,

  ∴∠ACB=45°,

  ∴BA=BC.

  (3)∵∠FBC=30°,∴∠ABF=60°.

  连接AF,BF、AD的延长线相交于点G,

  ∵∠FBC=30°,∠DCB=75°,

  ∴∠BFC=75°,故BC=BF.

  由(2)知:BA=BC,故BA=BF,

  ∵∠ABF=60°,

  ∴AB=BF=FA,

  又∵AD∥BC,AB⊥BC,

  ∴∠FAG=∠G=30°.

  ∴FG=FA=FB.

  ∵∠G=∠FBC=30°,∠DFG=∠CFB,FB=FG,

  ∴△BCF≌△GDF.

  ∴DF=CF,即点F是线段CD的中点.

  ∴DFFC

2020-03-17 14:30:10

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